Blauverschiebung in der Nähe des Schwarzschild-BH-Horizonts

Nachdem ich eine Weile mit der Schwarzschild-Geometrie gearbeitet habe, ist mir etwas aufgefallen, was ich vorher noch nicht gesehen hatte und das mich etwas verstörte. Betrachten Sie die 4-dimensionale Schwarzschild-Metrik:

$$ds^2 = -\left(1- \frac{2M}{r}\right)dt^2 + \left(1- \frac{2M}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2 d\Omega^2 ~,$$

und nehmen wir an, dass zwei Beobachter an festen räumlichen Positionen gehalten werden$(R_1, 0, 0)$und$(R_2,0,0)$, mit$R_2 > R_1 > 2M$(unter Verwendung eines nicht-gravitativen Systems, sagen wir Raketen, die Treibstoff verbrennen). Dies ist eine typische Situation zum Studium der gravitativen Rotverschiebung, wenn der innere Beobachter getrennte Signale sendet$\Delta \tau_1$(nach ihm gemessen, das heißt,$\tau_1$ist die richtige Zeit entlang seiner Weltlinie). Das berühmte Ergebnis lautet:

$$\Delta \tau_2 = \sqrt{\frac{1-\frac{2M}{R_2}}{1-\frac{2M}{R_1}}} \Delta \tau_1 ~~, \hspace{1cm} \nu_2 = \sqrt{\frac{1-\frac{2M}{R_1}}{1-\frac{2M}{R_2}}} \nu_1 ~,$$

wobei wir im letzten Ausdruck in Bezug auf die Periode dieser Signale denken. Wenn sich der innere Beobachter nähert$R_1 \to 2M$, erhalten wir vom Standpunkt des äußeren Beobachters aus eine unendliche Rotverschiebung. Meine Frage ist folgende: Was passiert, wenn statt der vorherigen Situation der äußere Beobachter ein Signal an den inneren sendet? Offensichtlich erhalten wir eine Blauverschiebung (die Analyse ist die gleiche), und diese Blauverschiebung wird beliebig groß, wenn$R_1 \to 2M$, denn es gilt immer noch:

$$\nu_1 = \sqrt{\frac{1-\frac{2M}{R_2}}{1-\frac{2M}{R_1}}} \nu_2 ~,$$

und wir halten$\nu_2$jetzt konstant. Das erscheint mir aus mehreren Gründen rätselhaft:

• Es scheint, dass niederenergetische Anregungen (z. B. Photonen), die vom äußeren Beobachter an den inneren Beobachter gesendet werden, beliebig energiereich werden können, wenn sie vom inneren Beobachter empfangen werden. In gewissem Sinne müssen wir also die Details der Hochenergiephysik kennen, um in einer Umgebung des Horizonts arbeiten zu können.
• Zuerst dachte ich, einen Beobachter festzuhalten$r$nahe am Horizont, ohne sich im Weltraum zu bewegen, war in gewissem Sinne unphysikalisch (vielleicht werden die gravitativen Gezeitenkräfte so groß, dass dies nicht möglich ist). Aber im Prinzip für große Masse am Horizont$r = 2 M$ist kein Ort, an dem Gravitationskräfte so stark werden (in einer Newtonschen Näherung,$F \sim M / r^2 \sim 1/M$, etwas, an das ich mich zu erinnern glaube, irgendwo im Rahmen von GR strenger gerechtfertigt gesehen zu haben, indem ich feststellte, dass die Riemann-Tensorkomponenten in einem lokalen Trägheitsrahmen nicht divergieren$r = 2M$).

Ich dachte, dass die obige Definition der Frequenz vielleicht schwierig ist, also habe ich auch versucht, die Energie eines Photons mit vier Impulsen zu berechnen$k$mit der Formel$E_{obs} = - k \cdot U_{obs}$,$U_{obs}$die Viergeschwindigkeit des Beobachters ist. Dies weicht auch für ein Photon ab, das mit endlicher Energie aus dem Unendlichen gesendet wird (eigentlich erhält man denselben Ausdruck wie zuvor), also nichts Neues. Ist das ein echtes Problem oder überschätze ich die Folgen dieser unendlichen Blauverschiebung? [Der Vollständigkeit halber kommt meine Angst vor einer unendlichen Blauverschiebung von einigen Diskussionen, die ich über die Stabilität von Horizonten gelesen habe. Insbesondere wenn man rotierende oder geladene Schwarze Löcher betrachtet, hat man einen inneren Horizont, der einige nette Eigenschaften verdirbt, die man von physikalischen Lösungen erwartet, wie die Vorhersagbarkeit. Ich fand in diesem Fall die Tatsache überzeugend, dass Störungen, die von außerhalb des Schwarzen Lochs gesendet werden, willkürlich blauverschoben werden, wenn sie den inneren Horizont erreichen, vielleicht ist dieser Horizont also instabil und erscheint nur als Folge des hohen Symmetriegrades unserer exakten Lösungen - sie verletzen also nicht die starke kosmische Zensur]. Irgendwelche Ideen oder Gedanken zu diesem Thema?