Oberflächengravitation eines Tötungshorizonts

Nummer (2) folgt daraus, dass für jede Skalarfunktion$\Phi(x^{\nu})$, der Gradient$\partial_{\mu} \Phi$ist orthogonal zum Ebenensatz$\Phi(x^{\nu})=const$.

Intuitiv sollte dies da gelten$\Phi$ändert sich nicht in Richtungen tangential zur Hyperfläche. Ein Beweis folgt aus der Kettenregel. Lassen$\gamma^\mu (s)$eine Kurve sein, die vollständig in der Hyperfläche liegt$H$definiert von$\Phi(x^{\nu})=c$. Dann seit$\Phi(\gamma^{\mu}(t))=c$,

$$\frac{d\Phi(\gamma^{\mu}(t))}{dt} = \frac{\partial \Phi}{\partial \gamma^\mu} \frac{d\gamma^{\mu}}{dt} = \partial_\mu \Phi \; \frac{d\gamma^{\mu}}{dt} = 0 .$$ Die Ableitung $\frac{d\gamma^{\mu}}{dt}$einer beliebigen Kurve in $H$gibt einen beliebigen Tangentenvektor an $H$, So $\partial_\mu \Phi$ist normal $H$. Dies ist eine Eigenschaft der Differentialgeometrie und hat nichts mit Nullvektoren oder Horizonten zu tun.

Insbesondere also die Größenordnung$\xi^2$des Killing-Vektorfeldes ist eine skalare Funktion der Raumzeit mit konstantem Wert$\xi^2=0$am Horizont. Also die Steigung$\nabla_\mu \xi^2=\partial_\mu \xi^2$muss normal zum Horizont sein.

Was (1) betrifft, werfen Sie einen Blick auf Wald eqn 12.5.18 und Problem 6.4.

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1) Wenn man zu den Rindler-Koordinaten geht, erhält man in der nahen Horizontgrenze des Schwarzschild-Schwarzen Lochs, dass die Oberflächengravitation genau die konstante Beschleunigung des Rindler-Beobachters ist. In der Tat ist dies das Äquivalenzprinzip, das am Werk ist: Gravitation "=" Beschleunigung.

Für einen statischen Beobachter können Sie eine explizite Berechnung durchführen, indem Sie die Viererbeschleunigung als definieren$a^{\mu}=U^{\sigma} \nabla_{\sigma} U^{\mu}$, Wo$U^{\mu}$die Geschwindigkeit ist, und unter Verwendung des Killing-Feldes der Zeitübersetzung$ξ^{\mu}=\sqrt{-ξ^2} U^{\mu}$. Siehe Carrolls Buchseite. 246 als Referenz.

2) Per Definition ist der Tötungsvektor am Horizont null, also$ξ^2=0$am Horizont. Außerdem bedeutet dies, dass es für ihn und den Horizont normal ist.