Wie können Schwarzschild-Koordinaten gemessen werden?

Koordinaten können in GR gemessen werden, obwohl diese Tatsache allzu oft übersehen oder sogar widerlegt wird, wenn Menschen sich in Koordinateninvarianz verfangen.

Wie Sie wohl bemerken, in Schwarzschild$r$ist nicht wirklich ein Radius im Sinne von "In konstantem Winkel von der Mitte integrieren und diesen Wert wiederherstellen". Es ist jedoch radial im Sinne von orthogonal zu den Winkelkoordinaten. Außerdem entspricht es der euklidischen Intuition in Bezug auf Umfänge und fixierte Flächen$r$.

Wie kann die koordinieren$r$gemessen werden?

Ein Messverfahren, das Sie anwenden können, ist dieses: Setzen Sie sich in Ihre Rakete mit einem festen Schub, der direkt vom Schwarzen Loch wegdrückt, so dass Sie konstant schweben$r$. Bringen Sie all Ihre Freunde dazu, das Gleiche rund um das Schwarze Loch zu tun, sodass jeder die gleiche Beschleunigung erfährt. Jeder kann dann Lineale in einem Kreis aufstellen, der durch alle Raketen geht, und die Summe der Messwerte (vorausgesetzt, Sie haben die Positionen angepasst, um diesen Wert zu maximieren) ist tatsächlich$2\pi r$.

Kann die Aussage „Der Ereignishorizont ist erreicht$r =2GM$" koordinatenunabhängig formuliert werden?

Irgendwie, wenn auch vielleicht nicht so direkt, wie Sie es gerne hätten. Sicherlich ist der Ereignishorizont einfach die Oberfläche, die abgrenzt, welche Ereignisse die zukünftige Null-Unendlichkeit beeinflussen können – es sind keine Koordinaten beteiligt.

Mit der obigen Diskussion könnten wir das jedoch für jeden sagen$r > 2GM$dass die Oberfläche konstant$r$ist der Ort von Punkten, so dass Raketen mit einer vorgeschriebenen Radialbeschleunigung dort stationär bleiben, wobei der Ereignishorizont die Grenze solcher Oberflächen ist.

Im Allgemeinen vertrete ich die Idee, dass Koordinaten gemessen werden können, solange Sie sich ein Experiment einfallen lassen können, bei dem sie in der Formel erscheinen. Dies ist etwas weiter gefasst als der Begriff der Messung von „Integrieren“.$\sqrt{g_{\mu\mu}}$entlang einer Linie, wo alle Koordinaten außer$x^\mu$sind konstant", was für einfache Räume ausreicht.

Erstens muss ein Koordinatendiagramm nicht die gesamte Raumzeit abdecken, und das Schwarzschild-Koordinatensystem kann nicht so viel Raumzeit abdecken wie andere Koordinatendiagramme.

Insbesondere ist der Ereignishorizont nicht Teil der Raumzeit, die von der Schwarzschild-Koordinatenkarte abgedeckt wird.

Aber die Bücher, die ich gesehen habe, scheinen zu behandeln$r$genau wie die radiale Koordinate, und sprechen Sie über "den Radius einer stabilen kreisförmigen Umlaufbahn" oder ähnliches.

Du kannst bessere Bücher bekommen. Der$r$Die Koordinate des Schwarzschild-Diagramms ist eine Flächenkoordinate, keine radiale Entfernung. Und das ist sowieso eine ziemlich dumme Idee. Wenn eine Hülle aus Materie auf einen Stern/Planeten zufällt, vergrößert sich der Abstand zwischen der Hülle und den fernen Sternen um mehr als der Abstand zwischen der Hülle und dem Stern/Planeten abnimmt. So ist das Leben. Definiere dich nicht darüber, wie weit du von etwas entfernt bist, es wird dich beißen.

Im Rest der Physik konzentrieren wir uns unermüdlich darauf, wie mathematische Größen gemessen werden können, aber ich weiß nicht, wie das hier für die Schwarzschild-Koordinate funktioniert$r$.

Sie können nicht messen$\theta$oder$\phi$in jedem kugelsymmetrischen Koordinatensystem. Ich bin mir also nicht sicher, warum dies wie ein Deal Breaker erscheint. Und Sie können die Schwarzschild-Flächenkoordinate messen$r$, nicht wie$\theta$oder$\phi$die nicht messbar sind.

In Minkowksi Raumzeit mit Koordinaten$(t,x,y,z)$Sie können den Ursprung oder eine der Koordinaten nicht finden.

• Kann die Aussage „Der Ereignishorizont ist erreicht$r = 2GM$" koordinatenunabhängig formuliert werden?

Es macht nicht einmal wirklich Sinn. Das Koordinatendiagramm deckt nur ab$r>2MG$Sie brauchen ein anderes Koordinatendiagramm bei den Ereignissen am Horizont.

• Wie kann die koordinieren$r$gemessen werden?

Sie könnten Gezeitenkräfte über einen kleinen Bereich von Zeit und Raum messen und diese mit den Gezeitenkräften vergleichen, die für Regionen mit unterschiedlichen Werten von erwartet werden$r.$

Aber aufgrund des Äquivalenzprinzips können Sie es nicht sagen, wenn Sie die Genauigkeit und Toleranz Ihrer Messungen festlegen und einen ausreichend kleinen Bereich betrachten. Über eine kleine Region sind die Gezeitenkräfte schwer zu erkennen.

Dies ist ein grundlegendes Prinzip. So können wir tatsächlich Vorhersagen treffen. Wir stellen fest, dass es für eine kleine Region von Raum und Zeit genau wie die Minkowski-Raumzeit ist (wo Sie keine Koordinaten angeben können, obwohl einige Richtungen immer noch eindeutig zeitähnlich und andere eindeutig raumähnlich sind). Sie machen Ihre Physik in dieser Region, und bevor Sie in eine andere Region gelangen, wechseln Sie zu deren Koordinaten.

Der springende Punkt beim Schreiben der Metrik für ein praktisches Koordinatensystem besteht darin, Ihnen zu ermöglichen, ein Koordinatensystem in einem Bereich zu verwenden, der größer ist, als es der lokale frei fallende Trägheitsrahmen zulassen würde.

Aber Sie sollten nicht in der Lage sein, es vor Ort zu sagen. Und wenn Sie größere Regionen betrachten, ist es entscheidend, wie Sie alle Informationen zusammenbringen.

Aber in Wirklichkeit geht es in der Wissenschaft darum, anhand einer Theorie Modelle zu erstellen und einerseits Vorhersagen aus dem Modell zu extrahieren und andererseits Beobachtungen zu machen, sodass man in der Greifhand die Vorhersagen anhand der Beobachtungen testen kann.

Das Messen einer Koordinate könnte Teil dieses Prozesses sein, aber darum geht es nicht. Wir müssen dieses Koordinatensystem nicht einmal verwenden. Und wir sollten dieses Koordinatensystem nicht am Ereignishorizont verwenden.

Sie können sich beziehen$r$zu den Gezeitenkräften, die ein Beobachter erfährt, oder verwenden Sie den reduzierten Umfang oder Flächenradius usw. für Beobachter ohne Drehimpuls (siehe andere Antworten). Viele Bücher sprechen dagegen, anzurufen$r$ein "Radius", das Wort "Radial" scheint populärer und allgemeiner zu sein, aber um besonders vorsichtig zu sein, können Sie einfach "Schwarzschild" sagen$r$-koordinieren". Ich persönlich bin flexibel; solange es verstanden wird, kann man kein statisches Lineal daran hängen$r=0$Zu$r=2M$, und dass in der Relativitätstheorie die Entfernung relativ zum Beobachter ist.

Sie können jedoch sicherlich ein bewegliches Lineal innerhalb des Horizonts verwenden. Nehmen Sie einen Beobachter, der frei von groß fiel$r$. Dann der richtige Abstand$\int ds$entlang ihrer radialen Raumrichtung ist zwar$dr$, und wenn man einen Haufen solcher fallender Lineale hintereinander legt, ergibt das tatsächlich eine Gesamtlänge von$2M$. Siehe Taylor & Wheeler, Exploring Black Holes (2000,$\S B.3$).

In der Allgemeinen Relativitätstheorie können Sie ein beliebiges Koordinatensystem nehmen

Das sagen die Leute gerne, aber es stimmt nicht. Stellen Sie sich vor, Ihr Koordinatensystem ist blau. Sie können ein neues Koordinatensystem übernehmen, wenn Sie möchten, aber das ist auch blau. Sie können jedes beliebige Koordinatensystem haben, solange es blau ist. OK, jetzt schauen Sie sich diese Darstellung des Schwarzen Lochs an:

In der Mitte ist es schwarz. Dort gibt es kein Koordinatensystem . Die Leute neigen dazu zu sagen, dass der Ereignishorion ein bloßes Artefakt ist, und Sie können ein neues Koordinatensystem übernehmen, das diese zentrale Region umspannt, aber das können Sie nicht . Weil das Gravitations-Zeitdilatationssystem unendlich wird.

Beispielsweise ist der Ereignishorizont eines Schwarzschild-Schwarzen Lochs$r = 2GM$. Naiv interpretieren$r$als radiale Koordinate deutet dies darauf hin, dass der Ereignishorizont "$2GM$weg vom Zentrum des Schwarzen Lochs", aber diese Aussage macht auch mathematisch keinen Sinn (die Entfernung$\int ds$ist nicht$2GM$überhaupt) oder physisch (Sie können Ihr Herrschernetzwerk nicht innerhalb des Schwarzen Lochs erweitern). Aber die Bücher, die ich gesehen habe, scheinen zu behandeln$r$genau wie die radiale Koordinate, und sprechen Sie über "den Radius einer stabilen kreisförmigen Umlaufbahn" oder ähnliches.

Es ist eine bestimmte Entfernung beteiligt. Stellen Sie sich der Einfachheit halber einen Raum ohne Stern vor, dann den gleichen Raum mit einem Stern in der Mitte. Es gibt eine Entfernung von Ihnen zur Oberfläche dieses Sterns und zum Mittelpunkt des Sterns. Wenn Sie den Stern durch ein Schwarzes Loch ersetzen, ist r keines von beiden.

Im Rest der Physik konzentrieren wir uns unermüdlich darauf, wie mathematische Größen gemessen werden können, aber ich weiß nicht, wie das hier für die Schwarzschild-Koordinate funktioniert$r$.

Es funktioniert hier nicht ganz, nicht so, wie die Leute es vorschlagen. Schauen Sie sich den Wikipedia-Artikel zum Schwarzschild-Radius an. Beachten Sie den Ausdruck$\frac{t_r}{t} = \sqrt{1 - \frac{r_\mathrm{s}}{r}}$und überlegen Sie, was passiert, wenn r = r _{s ist}. Beachten Sie auch, dass Sie die Zeitdilatation mit Uhren in verschiedenen Höhen messen können. OK, jetzt wickeln Sie alle zehn Meter ein sehr langes Kabel aus Ihrem gedanken Raumschiff mit Lichtuhren. Lassen Sie es in Richtung des Schwarzen Lochs baumeln. Wickeln Sie es nicht ganz bis zum Ereignishorizont ab. Dies kann einige Probeversuche und einige zusätzliche Lichtuhrkabel erfordern. Wenn Sie es abgewickelt haben, lassen Sie es ein Jahr dort, damit die Abroll- und Aufrollzeiten unbedeutend sind. Zeichnen Sie dann alle Uhrenablesungen. Die Uhrenwerte weiter unten sind niedriger als die weiter oben, und Ihr Diagramm ist gekrümmt, ähnlich wie in der obigen Abbildung. Sie können hochrechnen, woraufhin Sie den strittigen Punkt sehen: Wenn Sie Ihr Kabel so hätten abrollen können, dass die niedrigste Uhr am Ereignishorizont war, und wenn Sie die Ab- und Aufwickelzeit richtig berücksichtigt hätten, diese niedrigste Uhranzeige würde auf Null kommen. Weil die Gravitationszeitdilatation unendlich wird. Dann sollte die Wahrheit dämmern: in Wahrheit hast du es nicht gemachtjede Messung mit dieser Uhr, weil der Ereignishorizont dort ist, wo Ihre Messungen aufhören, weil dort Uhren aufhören.

Eine angehaltene Uhr kann nicht langsamer gehen als angehalten, und da die Schwerkraft mit dem Potenzialgradienten zusammenhängt, der wiederum mit diesen Taktraten zusammenhängt, sollten Sie herausfinden können, dass an diesem Ort keine Schwerkraft vorhanden ist . Sie sollten auch verstehen können, dass Sie kein neues Koordinatensystem übernehmen können, um eine angehaltene Uhr zum Ticken zu bringen. Kruskals-Szekeres-Koordinaten tun dies angeblich, aber sie stellen effektiv einen angehaltenen Beobachter vor die angehaltene Uhr und behaupten, er sehe sie normal "in seinem Rahmen" ticken. Das ist Unsinn. Die Uhr bleibt stehen und er auch. Er sieht nichts . Eddington-Finkelstein-Koordinaten sind ähnlich. Lesen Sie unbedingt den ersten Absatz des Wikipedia-Artikelswas besagt, dass sie von Penrose erdacht und von Misner/Thorne/Wheeler gefördert wurden. Kip Thorne fördert heutzutage Zeitreisen.

Kann die Aussage „Der Ereignishorizont ist erreicht$r = 2GM$" koordinatenunabhängig formuliert werden?

Ja. Das ist der Ort, an dem alle Koordinatensysteme aufhören . An diesem Ort kommt man nicht vorbei. Daran kommt man auch nicht vorbei. Siehe den zweiten Absatz hier und beachten Sie den gefrorenen Stern in Kevin Browns Formation and Growth of Black Holes .

Wie kann die koordinieren$r$gemessen werden?

Das kann man praktisch nicht messen. Aber Sie können verstehen, warum nicht.