Zwei Sphären - eine raumartige Hyperfläche

Die Schwarzschild-Metrik in radialen Koordinaten$(t, r, \theta, \phi)$wird von gegeben
$ds^2 = -(1 - 2M/r) dt^2 + (1 - 2M/r)^{-1} dr^2 + r^2 d\theta^2 +r^2 \sin^2 \theta d\phi^2$
Wo$M$ist die Masse des Schwarzen Lochs.
Eine Hyperfläche wird durch eine konstante Funktion definiert$f$, im Falle einer 2-Sphäre$r = constant$. Ein Vektor senkrecht zu einer Hyperfläche wird beschrieben durch$\xi^\mu = g^{\mu \nu} \nabla_\nu f$, Wo$\nabla_\mu$ist die kovariante Ableitung (reduziert auf die partielle Ableitung, wenn sie auf einen Skalar angewendet wird) und$g^{\mu \nu}$ist der inverse metrische Tensor. Was eine 2-Sphäre betrifft, haben wir
$\xi_\mu = (0, 1, 0, 0)$dualer Vektor
$\xi^\mu = (0, (1 - 2M/r), 0, 0)$vektor
Die Norm zum Quadrat ist$\xi^\mu \xi_\mu = (1 - 2M/r)$, was positiv (raumartig) ist, wenn$r > 2M$, das außerhalb des Ereignishorizonts liegt, null (null), wenn$r = 2M$, das heißt am Ereignishorizont und negativ (zeitlich) wann$r < 2M$, also innerhalb des Ereignishorizonts.
Da eine Hyperfläche zeitartig ist, wenn die Normale raumartig ist, null, wenn die Normale null ist, und raumartig, wenn die Normale zeitartig ist, haben wir
A 2-Sphäre ist zeitartig, wenn$r > 2M$, außerhalb des Ereignishorizonts
Eine 2-Sphäre ist null, wenn$r = 2M$, am Ereignishorizont
Eine 2-Sphäre ist raumartig, wenn$r < 2M$, innerhalb des Ereignishorizonts

Die Tangentenvektoren an die 2-Sphäre sind
$\zeta^t = (1, 0, 0, 0)$
$\zeta^\theta = (0, 0, 1, 0)$
$\zeta^\phi = (0, 0, 0, 1)$

Eingefangene Flächen sind nicht unbedingt 2-Sphären, das hängt von der Metrik ab. Beispielsweise weisen eingeschlossene Oberflächen in der Kerr-Metrik (rotierendes schwarzes Loch) keine radiale Symmetrie auf.