Innerste stabile Kreisbahn in Schwarzschild-Lösung

Ich habe kürzlich über GR gelesen und kann die Ableitung einer Schwarzschild-Lösung in ihre endgültige und bekannte Form in Schwarzschild-Koordinaten verfolgen.

Das Argument der Umlaufbahnstabilität (für ein massives Testteilchen) ist ebenfalls klar - es kann keine stabile kreisförmige Umlaufbahn geben R < 6 M .

Danach folgt in der Regel eine Berechnung für die Erde:

R = 6 G M / C 2 = 0,03 M

Radius der Erde = 6300 k M .

Wenn man sie also vergleicht, stellt man fest, dass dies kein Problem für die Erde ist, da 0,03 m weit unter der Oberfläche liegen.

Meine Frage ist - wie können wir einen solchen Vergleich anstellen? Der Radius eines Planeten wird aber in Kugelkoordinaten gemessen R In R = 6 M ist in Schwartzschild-Koordinaten - beim Ableiten der Schwartzschild-Lösung beginnt man mit sphärischen Koordinaten, macht aber viele Koordinatentransformationen, so dass sich daraus ergibt R ist wirklich eine sehr komplizierte Funktion eines Kugelradius und ein Vergleich ihrer Werte scheint falsch zu sein.

Viel einfacher: Innerhalb der Erde ist Raumzeitgeometrie nicht Schwarzschild. Es ist Schwarzschild außerhalb der Erde, wenn drei vereinfachende Annahmen getroffen werden: 1) Die Massenverteilung der Erde ist kugelsymmetrisch 2) Die Erdrotation wird vernachlässigt 3) Die Erde ist allein im Weltraum (keine Sonne, kein Mond usw.). Der Wert 0,03 m << Erdradius bedeutet nur, dass die Raumzeitgeometrie um die Erde sehr geringfügig von ihrer Masse beeinflusst wird - sie weicht nur sehr wenig von Lorentz ab.
Beim Ableiten der Schwartschild-Lösung beginnt man mit sphärischen Koordinaten, macht aber viele Koordinatentransformationen. Dies klingt für mich nach einem Missverständnis, obwohl es schwierig ist, sicher zu sein, ohne zu sehen, welche Quelle Sie lesen. Es gibt kein zugrundeliegendes, flaches Raumsystem von sphärischen Koordinaten, das später in Schwarzschild-Koordinaten transformiert wird.

Antworten (2)

Die Schwarzschild-Koordinate R ist so definiert, dass die Fläche von an R = C Ö N S T . Oberfläche ist 4 π R 2 wobei der Bereich unter Verwendung der Metrik bei fest bewertet wird T . Damit kann man unseren (in sehr guter Näherung) flachen Raum-Zeit-Radius betrachten R als mit der Schwarzschild-Koordinate zusammenfallend R sobald wir außerhalb des Körpers der Erde sind. (Die Schwarzschild-Metrik gilt nicht innerhalb der Erde)

Danke für die Antwort, aber es ist nicht genau das, womit ich ein Problem habe. Ja, ich kenne die S2-Folierung und dass es sich um eine Exterieur-Lösung handelt. Was ich nicht verstehe, ist, wenn wir eine Koordinatentransformation durchführen: r -> r' = f(r), dann ist es nicht sinnvoll, einen Vergleich der Form durchzuführen: r < r', und wir machen viele Transformationen, wenn wir Schwartzschild ableiten Lösung

Der Vergleich ist immer noch gültig, obwohl seine Bedeutung ein wenig verborgen ist. Die Schwarzschild-r-Koordinate ist definiert als die Quadratwurzel der Oberfläche einer Kugel in diesem Abstand geteilt durch 4 π . Mit anderen Worten A = 4 π R 2 .

Also sagen, dass der Radius der Erde größer ist als 0,03 M sagt, dass die Oberfläche der Erde größer ist als 0,01 M 2 , was eindeutig stimmt. Und sagen, dass der Radius der Erde ist 6300 k M sagt, dass seine Oberfläche ist 4 π ( 6300 k M ) 2 was, wenn wir die Erde als kugelsymmetrisch und nicht rotierend annähern, ungefähr wahr ist.

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