Verteiler für Schwarzschild und Bertotti-Robinson

Kurz gesagt: Was ist die diskutierte Mannigfaltigkeit für die Schwarzschild-Metrik?

D S 2 = − ( 1 − 2 M R ) D T 2 + 1 1 − 2 M R D R 2 + R 2 ( D θ 2 + Sünde 2 ⁡ θ D ϕ 2 )
und Bertotti-Robinson-Metrik (vgl. Thorne und Blandford, "Applications of Classical Physics" http://www.pma.caltech.edu/Courses/ph136/yr2011/1025.1.K.pdf , Aufgabe 24.2)
D S 2 = Q 2 ( − D T 2 + Sünde 2 ⁡ T D z 2 + D θ 2 + Sünde 2 ⁡ θ D ϕ 2 )

(Wo Q = konstant, 0 ≤ T ≤ π , − ∞ < z < + ∞ , 0 ≤ θ ≤ π , , 0 ≤ ϕ ≤ 2 π )?

Weitere Beschreibung:

Es scheint, dass in der Allgemeinen Relativitätstheorie Raumzeiten oft nur durch die Beschreibung ihrer metrischen Tensoren diskutiert werden, aber nicht der betreffenden Mannigfaltigkeit. Dies ist sehr mühsam für mich, da meines Wissens eine Mannigfaltigkeit definiert werden muss, bevor metrische Tensoren darauf beschrieben werden können. Zum Beispiel, wenn man von einem metrischen Tensor einer Kugel sprechen soll D S 2 = R 2 D θ 2 + R 2 Sünde 2 ⁡ θ D ϕ 2 bevor man definiert, was eine Sphäre ist, dann wäre es zweideutig zu sehen, was genau θ Und ϕ bedeutet (es sei denn, man urteilt aus dem Kontext, was in diesem Fall einigermaßen funktioniert, weil θ , ϕ bedeutet normalerweise Winkel)

Als ich sah, dass plötzlich die Schwarzschild-Metrik und die Bertotti-Robinson-Metrik auftauchten, ohne eine Beschreibung zu geben, von welcher Mannigfaltigkeit wir sprechen, war ich sehr verwirrt (und bin es immer noch, da ich keine fruchtbare Antwort auf meine Frage finden konnte).

Meine Vermutung für Schwarzschild ist, dem Kontext nach zu urteilen, R ist "Radius", θ , ϕ sind "Winkel", also ist es "offensichtlich wahr", dass die Schwarzschild-Metrik auf der Mannigfaltigkeit definiert ist R 4 mit sphärischen Polarkoordinaten für den räumlichen Teil ausgestattet. Für Bertotti-Robinson vermute ich das z , θ , ϕ beschreiben zusammen eine etwas alternative sphärische Polarkoordinate wo z ist die Höhe und so weiter, und somit wird auch Bertotti-Robinson definiert R 4 .

Lokal ist jede Mannigfaltigkeit R 4 , und GR nimmt fast immer stillschweigend an, dass diese lokalen Patches groß genug sind, dass wir nicht zwischen ihnen wechseln müssen, wenn wir Physik betreiben.
Heißt das also, dass in theoretischen Zusammenhängen generell vielfältig diskutiert wird R 4 ?
Außerdem würde ich gerne das folgende wichtige zusätzliche Detail wissen: Ich habe eine Behauptung gefunden, dass die Bertotti-Robinson-Raumzeit kugelsymmetrisch ist. Wie kann man das sehen? Die einzige Möglichkeit, die mir einfällt, besteht darin, zu zeigen, dass jedes Element in S Ö ( 3 ) induziert eine Isometrie bei Bertotti-Robinson. Ich habe jedoch keine allgemeine, explizite Formel für die Drehung in Kugelkoordinaten gefunden. Daher bin ich ahnungslos bei dem Versuch, es zu demonstrieren.
Es gibt einige Details zu diesem Thema in diesen Notizen arxiv.org/abs/1403.2371 , ich schlage vor, dass Sie einen Blick darauf werfen.

Antworten (1)

Es gibt viele Mannigfaltigkeiten, die die Schwarzschild-Metrik zulassen, aber die Standardmannigfaltigkeit, um sie zu diskutieren, ist die maximal erweiterte Schwarzschild-Lösung, die ist R 2 × S 2 . Der einfachste Weg, dies zu sehen, besteht darin, die Kruskal-Koordinaten auszuwählen, die die gesamte Mannigfaltigkeit abdecken

D S 2 = 32 M 3 R e − R / 2 M ( − D T 2 + D X 2 ) + R 2 D Ω 2

mit Koordinaten ( T , X , θ , φ ) , wobei die Winkelkoordinaten eine 2-Kugel während beschreiben ( T , X ) in der Tat eine Region beschreiben, die homöomorph ist R 2 . Seit wir ... Haben

X ∈ R ,   T 2 − X 2 ∈ ( − ∞ , 1 )

Und

R 2 G M = 1 + W 0 ( X 2 − T 2 e )

mit W 0 der Lambert-Funktion bedeutet dies, dass das Argument der Lambert-Funktion im Bereich liegt ( − e − 1 , ∞ ) , so dass R ∈ ( 0 , ∞ ) , stößt die Metrik niemals auf eine Singularität (die Werte T 2 − X 2 = 1 entsprechend den tatsächlichen Singularitäten der Metrik).

Sobald Sie die maximal erweiterte Schwarzschild-Lösung haben, können Sie daraus viele andere Mannigfaltigkeiten definieren, entweder Teilmengen oder Quotienten. Die äußere Schwarzschild-Lösung hat immer noch die gleiche Topologie: Es ist nur eine Beschränkung auf einen Quadranten von ( T , X ) , und in Schwarzschild-Koordinaten können Sie leicht sehen, dass es gerecht ist R 4 mit einer Kugel entfernt von jeder Cauchy-Fläche, die auch gleich ist R 2 × S 2 . Dasselbe gilt für die innere Schwarzschild-Lösung oder das Schwarzschild-Eddington-Finkelstein-Koordinatenpatch.

Es gibt seltsamere Topologien für die Schwarzschild-Lösung, wie z. B. die elliptische Schwarzschild-Lösung, die dem Quotienten durch Identifizierung der Lösung des Schwarzen Lochs und des Weißen Lochs entspricht (die nicht kausal oder zeitorientiert ist), die meiner Meinung nach eine Topologie hat R × S × S 2

Verteiler für Schwarzschild und Bertotti-Robinson
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v