Kruskal-Szekeres-Koordinaten und die Singularität

Ihre Verwirrung beginnt, glaube ich, mit Ihrer falschen Definition von "Diagramm". Du denkst, dass es ein Homöomorphismus ist$\psi:U\rightarrow\mathbb{R}^n$Wo$U$ist eine offene Teilmenge von$\mathcal{M}$

Die korrekte Definition ist stattdessen, dass es sich um einen Homöomorphismus handelt$\psi:U\rightarrow V$, Wo$U,V$sind offene Teilmengen von$\mathcal{M}$Und$\mathbb{R}^n$, bzw.

Großer Unterschied!

Zum Bsp.$V$muss nicht unbedingt homöomorph zu sein$\mathbb{R}^n$. Als Folge können Sie einen Verteiler haben$\mathcal{M}$- von einem einzigen Horoskop abgedeckt -, das nicht homöomorph ist$\mathbb{R}^n$. Beispiel: die durchstochene Ebene$\mathbb{R}^2_O$($\mathbb{R}^2$ohne Ursprung$O$), wo das einzelne Diagramm$\psi:\mathbb{R}^2_O\rightarrow\mathbb{R}^2_O$ist eben das kartesische Koordinatensystem mit$x,y\neq 0$Und$\mathcal{M},U,V=\mathbb{R}^2_O$.

Der zweite hervorzuhebende Punkt ist, dass das KS-Diagramm {$T,X,\phi,\theta$} deckt nicht wirklich die gesamte Schwarzschild-Mannigfaltigkeit ab$\mathcal{M}$, aus dem einfachen Grund, dass der eckige Teil$\phi,\theta$deckt nicht ab$S^2$vollständig ($0<\phi<2\pi,0<\theta<\pi$also die Pole und$\phi=0$Meridian werden nicht abgedeckt). Jetzt das Rechteck$0<\phi<2\pi,0<\theta<\pi$ist homöomorph zu$\mathbb{R}^2$(unter Verwendung einer einfachen Arctan-Transformation), damit wir das sagen können$S^2$es gibt ein diagramm$\psi:U\rightarrow\mathbb{R}^2$Wo$U$ist eine echte offene Teilmenge von$S^2$

Wir haben also einen Verteiler$\mathcal{M}$(die maximale Erweiterung der Schwarzschild-Mannigfaltigkeit) mit einem Diagramm$KS:U\rightarrow V$, Wo$U$ist eine echte offene Teilmenge von$\mathcal{M}$Und$V$Ist:

In Wirklichkeit sind die beiden Mannigfaltigkeiten nicht homöomorph. Einer hat keine Singularitäten, der andere hat eine physikalische Singularität, dh. eine, die nicht durch eine Koordinatentransformation eliminiert werden kann. Das Beste, was Sie (mit KS) tun können, ist, die Singularität fast mit einem schönen Diagramm zu umhüllen, wie Sie es tun$\mathbb{R}^2$abzüglich des Ursprungs und der positiven x-Achse unter Verwendung von Polarkoordinaten. Mit algebraischer Topologiesprache / -methoden können Sie das beweisen$\pi _2$sind anders: Eine geschlossene Fläche kann man nicht schrumpfen$S^2$um die Singularität. Hier können Sie mehr darüber lesen

Ich glaube, der grundlegende Fehler in Ihrer Argumentation besteht darin, dass die Definition einer Mannigfaltigkeit ein primitiverer Begriff ist als die einer Metrik, und es ist die Metrik, die der allgemeinen Relativitätstheorie den Begriff der Krümmung gibt. Der klarste Weg, um das zu sagen$R^4$ist nicht wirklich flach, einfach weil ihm nicht automatisch eine Metrik zugeordnet ist; es ist weder flach noch gekrümmt, weil es nicht automatisch mit genügend Struktur ausgestattet ist, um diese Dinge zu definieren. Mit anderen Worten, die Tatsache, dass es eine glatte 1-1-Zuordnung zwischen gibt$R^4$und die maximal erweiterte Schwarzschild-Lösung über die Kruskal-Szekeres-Koordinaten besagt einfach die Tatsache, dass die Schwarzschild-Lösung in einer 4-dimensionalen Raumzeit lebt. Es erfordert in keiner Weise, dass es auch die Geometrie der flachen Raumzeit besitzt, denn$R^4$ist nicht flach, es sei denn, Sie fügen die Struktur der Minkowski-Raumzeit hinzu – was an sich eine Wahl ist.

Sie müssen drei verschiedene Ebenen der vielfältigen Struktur beibehalten:

• Differential$C^\infty$(glatt)
• affine Verbindung
• riemannisch (oder semiriemannisch).

Der Diffeomorphismus gehört zur ersten Ebene. Die Krümmung kann im zweiten definiert werden (metrisch ist nicht erforderlich). Die GR-Raumzeit gehört zur dritten (semiriemannschen). In einer (semi)riemannschen Mannigfaltigkeit lässt sich ein affiner Zusammenhang definieren, der mit der Metrik kompatibel ist: der sogenannte Levi-Civita-Zusammenhang.

Daher können zwei Mannigfaltigkeiten auch dann diffeomorph sein, wenn sie sich in der Krümmung unterscheiden, wie Minkowsky und Schwarzschild. Es gibt einen stärkeren Morphismus zwischen (semi)riemannschen Mannigfaltigkeiten: Isometrie . Zwei (semi)riemannsche Mannigfaltigkeiten sind isometrisch, wenn eine Eins-Eins-Abbildung existiert, wobei die Metrik erhalten bleibt.

Beachten Sie, dass Isometrie ohne Verwendung von Koordinaten angegeben werden kann: Es erfordert nur, dass der metrische Tensor der ersten Mannigfaltigkeit in den metrischen Tensor der zweiten übergeht. Wenn zwei Mannigfaltigkeiten isometrisch sind, sind natürlich unter Verwendung entsprechender Koordinaten in beiden die Komponenten der metrischen Tensoren gleich.

Minkowsky und Schwarzschild sind diffeomorph, aber nicht isometrisch. Die Existenz unvollständiger Geodäten in der Schwarzschild-Geometrie und nicht in der Minkowsky-Geometrie ist ein unmittelbarer Beweis.