Wie fixiert man lokal kartesische Koordinaten auf der Oberfläche einer Kugel?

Seite 166 dieses Buches sagt das

jede Geometrie, egal wie gekrümmt, lokal flach ist , können wir an jedem räumlichen Punkt immer einen infinitesimalen Fleck eines kartesischen Koordinatensystems konstruieren.

Die Frage ist, was die lokalen kartesischen Koordinaten auf der Oberfläche einer Einheitskugel sein können (oder wie man darüber nachdenken sollte). Da es sich um eine kartesische Koordinate handelt, muss der metrische Tensor sein δ ich J . Wenn ich benutze ( X , j , z ) System wird der metrische Tensor nicht δ ich J wegen der einschränkung X 2 + j 2 + z 2 = 1 . Auch in sphärischen Polarkoordinaten ist die Metrik nicht δ ich J .

Beachten Sie das Wort „infinitesimal“. Die Koordinaten liegen nicht genau "auf" der Kugel, sondern auf der Tangentialebene zur Kugel. Sie können sich vorstellen, dass sie durch eine Auswahl von zwei senkrechten Tangentenvektoren am Tangentialpunkt erzeugt werden. "Unendlich" tangentiale Ebenenpunkte entsprechen Punkten der Kugel durch eine Exponentialkarte , aber auf jedem endlichen Fleck, egal wie klein, ist die Krümmung der Kugel ungleich Null, sodass induzierte Koordinaten nicht flach sind.
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Antworten (1)

Kommentare zum Beitrag (v1):

  1. Mit dem Wort lokal flach Ref. 1 scheint sich auf die Existenz von Riemann-Normalkoordinaten zu beziehen , dh man kann an einem Punkt anordnen , dass (i) der Metriktensor das Kronecker-Delta ist und dass (ii) die ersten partiellen Ableitungen der Metrik verschwinden.

  2. Dieses Ergebnis lässt sich aufgrund der Krümmung nicht unbedingt auf eine offene Nachbarschaft übertragen , vgl. zB diese und diese Phys.SE Beiträge.

Verweise:

  1. U. Leonhardt & T. Philbin, Geometrie und Licht: Die Wissenschaft der Unsichtbarkeit, 2010; P. 166.
Wie fixiert man lokal kartesische Koordinaten auf der Oberfläche einer Kugel?
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