Gekrümmte Raumzeit vs. Koordinatenänderung im Minkowski-Raum

Gravitation ist eine Eichtheorie. Spurtransformationen sind Diffeomorphismen (Koordinatenänderungen), die durch Ihre Gleichungen beschrieben werden. Daher ist der Raum aller möglichen Metriken (der Modulraum) der Quotient des Raums aller$g_{\mu \nu}$über diese Koordinatenänderungen.

Also dein$g_{\mu \nu}$eingestellt werden kann$\eta_{\mu \nu}$durch eine Koordinatentransformation. Das bedeutet, dass sie derselben Äquivalenzklasse angehören .

Andererseits,$q_{\mu \nu}$gehört zu einer anderen Äquivalenzklasse . Dies kann durch Berechnung des Riemannschen Krümmungstensors gesehen werden. Für alle$g_{\mu \nu}$es sollte null sein, aber nicht für$q_{\mu \nu}$.

Die Frage von OP (v2) scheint teilweise durch die ungenaue Verwendung des Wortes lokal verursacht zu werden:

1. Wenn OPs Gl. (1) gilt lokal in einer Nachbarschaft $U\subseteq M$, dann gibt es Koordinaten in$U$so dass die Metrik$g_{\mu\nu}$wird auf Minkowski-Form in$U$, und dann der (Levi-Civita) Riemann-Krümmungstensor $R^{\sigma}{}_{\mu\nu\lambda}$verschwindet darin$U$, oder äquivalent, die Mannigfaltigkeit$M$ist per definitionem flach in$U$. Die Implikationen gelten auch in die entgegengesetzte Richtung, nachdem möglicherweise in eine kleinere Nachbarschaft gegangen ist$V\subseteq U$.

2. Für einen beliebigen Punkt$p\in M$auf einer Lorentzschen Mannigfaltigkeit $(M,g)$, gibt es Riemann-Normalkoordinaten in einer hinreichend kleinen Koordinatenumgebung$U\subseteq M$des Punktes$p$so dass die Metrik$g_{\mu\nu}$wird auf Minkowski-Form mit verschwindenden (Levi-Civita) Christoffel-Symbolen$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$ lokal im Punkt $p$(aber nicht unbedingt in der durchstochenen Nachbarschaft$U\backslash\{p\}$und die Mannigfaltigkeit$M$ist nicht unbedingt flach drin$U$). Insbesondere der (Levi-Civita) Riemann-Krümmungstensor$R^{\sigma}{}_{\mu\nu\lambda}$verschwindet nicht unbedingt bei$p$.