Ich habe eine ganze Weile gesucht, aber meistens die Antwort gefunden: Einsteins Genie. Ziemlich unbefriedigend. Ich weiß und verstehe, dass die Idee Schwerkraft = Krümmung der Raumzeit funktioniert. Außerdem weiß ich, dass der Ausgangspunkt für Einsteins Überlegungen das Äquivalenzprinzip war. Trotzdem kann ich von dort aus nicht den Zusammenhang herstellen, warum Gravitation die Krümmung der Raumzeit ist. Jede Hilfe oder Bezugnahme darauf, wo dies erklärt wird, wäre sehr willkommen.
Vielleicht eher ein zu langer Kommentar als eine Antwort.
Es scheint eine historische Erklärung für die Motivation und den Aufbau einer Ableitung der Feldgleichungen zu sein,
ist wahrscheinlich das, was erforderlich ist, um Ihre Frage zu beantworten. 1913 veröffentlichte Einstein die Entwurfsgleichungen , die unter allgemeinen linearen Transformationen kovariant waren; erst viel später kehrte Einstein zur allgemeinen Kovarianz zurück und hatte solche Konstrukte in der Vergangenheit tatsächlich abgelehnt ...
Ein historischer Bericht über jede Sackgasse, mit der Einstein konfrontiert war, und wie er schließlich zu den Einstein-Feldgleichungen gelangte, ist eine lange Geschichte, zu lang für eine physikalische SE-Antwort. Daher leite ich Sie zu Untying the Knot: How Einstein Found His Way Back to Field Equations Discarded in the Zurich Notebook weiter , das hier frei erhältlich ist. Wenn ich mich richtig erinnere, schrieb Einstein in Wahrheit die richtigen Feldgleichungen, verwarf sie jedoch, da er sich ihrer Richtigkeit nicht bewusst war, in seinem „Zürich“-Notizbuch. Die Antwort auf Ihre Frage ( aus Einsteins ursprünglicher Perspektive ) liegt mit ziemlicher Sicherheit im Text; siehe dazu http://arxiv.org/abs/1201.5353 .
Da Sie in einem Ihrer Kommentare Folgendes erwähnen
Ich interessiere mich weniger für Einsteins historische Kämpfe und hätte gerne eine modernere Perspektive, wie man zu dieser Einsicht kommt.
Ich ignoriere hiermit unverschämt die Geschichte und biete stattdessen ein schnelles Plausibilitätsargument an.
Beginnen wir mit dem Äquivalenzprinzip, das grob gesagt besagt, dass ein (hinreichend kleines) System, das frei in einem Gravitationsfeld fällt, nicht von demselben System zu unterscheiden ist, das träge im leeren Raum schwebt.
Stellen Sie sich nun einen Satelliten vor, der die Erde in einer 2-D-Ebene frei umkreist. Verwenden Sie nun die vertikale Richtung des Bildes, um die Zeit zu verkörpern, um eine Raumzeitdarstellung zu bilden, und zeichnen Sie in diesem Bild die Bahnen des Massenschwerpunkts jedes Körpers.
Wiederum grob gesagt und unter Verwendung der Geometrie unserer Augen würden Sie die Weltlinie der Erde als gerade vertikale Linie und die des Satelliten als Spirale zeichnen , die sich um diese Mittellinie windet, richtig?
Nun versuchen wir, dieses Bild mit dem Äquivalenzprinzip in Einklang zu bringen, das wiederum darauf hinzudeuten scheint, dass jede dieser Linien „gerade“ sein muss, weil jedes Objekt tatsächlich träge schwebt.
Sie sehen sicherlich nicht gerade aus, aber was ist, wenn Geradlinigkeit in der Raumzeit etwas Nicht-Euklidisches bedeutet? Und da wäre es sinnvoll, die geometrische Struktur der Raumzeit so zu variieren, dass beide Trajektorien wirklich Geodäten dieser unkonventionellen metrischen Struktur sind.
Fühlt sich das für dich überzeugend genug an?
Auch hier tun wir natürlich nicht so, als hätte Einstein dies getan. Wir behaupten auch nicht, dass wir die allgemeine Relativitätstheorie leicht aus diesem Argument rekonstruieren könnten. Wir machen die Verbindung für einen modernen Leser nur plausibel, anstatt sie magisch aus heiterem Himmel erscheinen zu lassen.
Zunächst einmal ist Gravitation nicht die Krümmung der Raumzeit, sondern die Geodäte, die von einer physikalischen Einheit angenommen wird, wenn sie sich entlang der gekrümmten Raumzeit bewegt. Was meine ich mit Geodäten? Eine Geodäte ist einfach der kürzeste Weg, den ein Teilchen in einer parametrisierten Kurve einnimmt. Um den oben erwähnten Gedanken an einen schweren Ball auf Ihrem Bett oder Stoff zu verstehen, was würde passieren, wenn Murmeln in der Nähe platziert würden? Das Genie Einsteins ergibt sich aus seiner Behauptung, dass die Schwerkraft aufgrund der Krümmung der Raumzeit entsteht und nicht aufgrund eines mystischen Kraftfelds, wie Newton glaubte. Somit können Objekte anstelle der einfachen elliptischen parametrisierten Kurve komplizierte parametrisierte Kurven (Umlaufbahn des Quecksilbers) annehmen.
In „Die Grundlagen der Allgemeinen Relativitätstheorie“ führte Albert Einstein zwei Gedankenexperimente – mit einem Aufzug und mit einer rotierenden Scheibe – durch, in denen er Gravitation und Beschleunigung verglich. Er betrachtete einen Lichtweg, wie er von einem beschleunigten und einem unbeschleunigten Beobachter gesehen wird. Als Ergebnis seiner Argumentation kam er zu dem Schluss (am Ende von Abschnitt 2):
"Der Weg eines Lichtstrahls in Bezug auf K' muss im Allgemeinen krummlinig sein, wenn sich Licht in Bezug auf K in einer geraden Linie mit einer bestimmten konstanten Geschwindigkeit ausbreitet."
Die erste Motivation war vielleicht die Unvereinbarkeit des Newtonschen Gesetzes mit der speziellen Relativitätstheorie, die die Idee der Schwerkraft als Kraft beseitigte, und eher die geometrische Eigenschaft von Raum und Zeit, deren Mechanismus die Krümmung war. Dann war es, wie @Yashbhatt sagte, das von Ricci und Riemann initiierte Studium der Tensoranalyse an gekrümmten Mannigfaltigkeiten, das zur sogenannten "Trampolin" -Analogie führte, die vielleicht die Entstehung der allgemeinen Relativitätstheorie war, und natürlich brauchte es Einsteins Genie das zu erkennen.
Yashbhatt