Warum sagen wir „Raumzeitkrümmung ist Gravitation“?

Nein, wir sollten nicht sagen, dass Christoffel-Symbole die Schwerkraft sind. Der große Grund, der wirklich ausreichen sollte, ist, dass sie koordinatenabhängig sind. Einer der wichtigsten Grundsätze der Allgemeinen Relativitätstheorie ist, dass Koordinaten keine Rolle spielen . Alles Physische muss koordinatenunabhängig und/oder tensorisch ausdrückbar sein.

Wie ich in den Kommentaren sagte, finde ich es persönlich ein bisschen lächerlich zu behaupten, dass die Verwendung von Polarkoordinaten irgendwie die Schwerkraft in den Mix bringt, während die Verwendung von kartesischen Koordinaten dies nicht tut. Die Gleichung für eine gerade Linie ändert sich, aber Sie können mit einer Reihe von Methoden überprüfen, ob es sich immer noch um eine gerade Linie handelt. Wenn Polarkoordinaten die Schwerkraft anzeigen, woher kommt diese Schwerkraft dann? Welches physische Objekt erzeugt es? Es gab keine in kartesischen Koordinaten.

Aber lassen Sie mich auf Ihre drei Punkte eingehen:

1. Dass die Christoffel-Symbole dem Gravitationsfeld entsprechen, trifft aus den oben genannten Gründen nicht ganz allgemein zu. In den Christoffel-Symbolen manifestiert sich ein Gravitationsfeld, aber nicht umgekehrt. Denken Sie auch daran, dass selbst in der Newtonschen Schwerkraft das Äquivalenzprinzip gilt, und man könnte argumentieren, dass nur Gezeitenkräfte für jemanden im freien Fall messbar sind, also ist dies ein Argument für die Krümmung.

2. Auch in der flachen Raumzeit gibt es gekrümmte Koordinaten. "Speziell relativistisch" bedeutet, dass die Metrik ist$\eta_{\mu\nu}$ausgedrückt in lokalen Lorentzschen (dh kartesischen) Koordinaten, nicht in irgendwelchen Koordinaten.

3. Dies ist im Grunde dasselbe wie 2, aber siehe den folgenden Absatz.

Ich denke, das grundlegende Problem ist, dass Sie die Schwerkraft für die Koordinatenbeschleunigung missverstehen . Sie bringen in Ihrem Argument Nummer 3 tatsächlich einen sehr guten Punkt, aber Sie ziehen die falsche Schlussfolgerung. Die Lehre aus dem Äquivalenzprinzip ist nicht, dass Beschleunigung relativ ist und daher die Schwerkraft relativ ist. Man könnte es als Schlussfolgerung nehmen, aber dann ist das Wort "Schwerkraft" nicht mehr sehr nützlich, weil es koordinatenabhängig ist.

Stattdessen sollten Sie die Lektion mitnehmen, dass sich „Schwerkraft“ auf etwas beziehen sollte, das eine physische Existenz unabhängig vom Beobachter hat, und dass etwas Gezeitenkräfte sind, gerade wegen des Äquivalenzprinzips . Da die Koordinatenbeschleunigung relativ ist, ist es klug, "Schwerkraft" für etwas zu halten, das nicht relativ ist.

Ich beharre auf einem sehr wichtigen Punkt: Das ist nicht nur eine Frage der Definition; Die physische Realität hat hier meinen Rücken. Ich sage das, weil sich herausstellt, dass jedes Mal, wenn es Gezeitenkräfte gibt, man ein physisches Objekt (Planet, Stern, was auch immer) dafür verantwortlich machen kann. Manchmal scheinen Objekte jedoch nicht der geodätischen Gleichung des kartesischen flachen Raums zu gehorchen, wenn keine offensichtliche Gravitationsquelle in der Nähe ist. Für mich macht es einfach viel mehr Sinn zu sagen, dass das, was sich immer in der Nähe eines schweren Objekts manifestiert, die Schwerkraft ist und dass das, was manchmal aufgrund seltsamer Koordinaten geschieht, nicht die Schwerkraft ist.

Um Ihre letzte Frage direkt zu beantworten, sollten wir dies nicht tun, da es an jedem Punkt eine Koordinatentransformation gibt, die dazu führt, dass die Christoffel-Symbole verschwinden (geodätische Koordinaten). Mit anderen Worten, ein Beobachter, der einer Geodäte folgt, befindet sich im freien Fall und erfährt keine Schwerkraft.

Was der Beobachter bemerkt, ist die geodätische Abweichung. Dies ist der Schlüssel, der zwischen "Schwerkraft" und "Koordinaten, die wie Schwerkraft aussehen" unterscheidet. Wenn ein Beobachter eine geodätische Abweichung sieht, ist unabhängig von den Koordinaten Schwerkraft vorhanden. Wenn nicht, ist die Raumzeit flach. Dies ist eine andere Art zu sagen, dass die Riemann-Krümmung bei Vorhandensein von Schwerkraft (geodätische Abweichung) ungleich Null ist.

Wenn Sie eine Interaktion in der Natur aufgrund eines Feldes diskutieren, müssen Sie zwei Dinge berücksichtigen: was das Feld bestimmt und was das Feld bestimmt. Um mit dem einfacheren Beispiel des Elektromagnetismus zu beginnen, zeigen die Maxwellschen Gleichungen, dass die vier Ströme bestimmt werden$F^{\mu\nu}$(bis zur Eichinvarianz), während das Lorentz-Kraftgesetz die Viererkraft auf ein geladenes Teilchen bestimmt.

Betrachten wir nun die Schwerkraft. Wörtlich sagen wir, die Materie sagt dem Raum, wie er sich biegen soll (das ist der Teil der Feldbestimmung), und der Raum sagt der Materie, wie sie sich bewegen soll (das ist der Teil der Bestimmung durch das Feld). Mathematisch lässt sich Ersteres durch den Riemann-Tensor (oder präziser durch den Ricci-Tensor) und Letzteres durch Christoffel-Symbole ausdrücken. Ersteres verwendet nur Tensoren; Letzteres verwendet Nicht-Tensoren, anhand derer wir eine Formel für den Riemann-Tensor aufschreiben können.

Teil 1:$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}g^{\rho\sigma}R_{\rho\sigma}+\Lambda g_{\mu\nu}=\kappa T_{\mu\nu}$. Teil 2: Newtons zweites Gesetz$m\dfrac{d^2 x^i}{dt^2}=f^i$verallgemeinert in der speziellen Relativitätstheorie zu$m\dfrac{d^2 x^\mu}{d\tau^2}=f^\mu$und in der allgemeinen Relativitätstheorie zu$m\dfrac{d^2 x^\mu}{d\tau^2}=f^\mu-m\Gamma^{\mu}_{\nu\rho}\dfrac{dx^\nu}{d\tau}\dfrac{dx^\rho}{d\tau}$.

Alte Frage, aber ich wollte einen Beitrag leisten.

Ich denke, Sie haben Recht. Sie wiederholen tatsächlich einen Standpunkt, der historisch von Einstein selbst vertreten wurde. In einem 1950 an Max von Laue geschriebenen Brief erklärte er:

Es stimmt, dass im Fall der$R^i_{klm}$[die Komponenten des Riemannschen Krümmungstensors] verschwinden, sodass man sagen könnte: „Es ist kein Gravitationsfeld vorhanden.“ Was jedoch die Existenz eines Gravitationsfeldes vom empirischen Standpunkt aus charakterisiert, ist das Nichtverschwinden des$\Gamma^l_{ik}$[die Verbindungskomponenten], nicht das Verschwinden der$R^i_{klm}$. Wenn man nicht so intuitiv denkt, kann man nicht begreifen, warum so etwas wie Krümmung überhaupt etwas mit Gravitation zu tun haben soll. Jedenfalls wäre kein vernünftiger Mensch auf so etwas gekommen. Der Schlüssel zum Verständnis der Gleichheit von träger und schwerer Masse [das Äquivalenzprinzip] fehlt.

Einstein sah in der Koordinatenabhängigkeit kein Problem, sondern eine echte physikalische Eigenschaft des Gravito-Trägheitsfeldes. Siehe auch die Antwort von Ron Maimon hier .

Natürlich können nur global einheitliche Gravitationsfelder durch eine Koordinatenwahl (*) aufgehoben werden. Im Allgemeinen ist dies nicht möglich(**), wenn es zumindest irgendwo in der Domäne eine Raumzeitkrümmung gibt. Aus Einsteins Sicht ist die Schwerkraft keine Krümmung der Raumzeit, sondern die Krümmung ist eine Manifestation der Schwerkraft.

Einsteins Sichtweise scheint heutzutage aus der Mode gekommen zu sein, da sie der Vorstellung widerspricht, dass "echte" Größen unabhängig vom Beobachter eine absolute Existenz haben sollten, aber im Prinzip ist daran nichts auszusetzen.

Siehe auch dieses Papier

Abstrakt:

Ich behaupte, dass Einstein sich im Gegensatz zur Folklore nie wirklich darum gekümmert hat, das Gravitationsfeld oder (später) das elektromagnetische Feld zu geometrisieren; Tatsächlich dachte er, dass die Aussage, dass die Allgemeine Relativitätstheorie die Schwerkraft geometrisiere, „überhaupt nichts aussagt“. Stattdessen werde ich zeigen, dass Einstein die „Vereinigung“ von Trägheit und Gravitation als eine der größten Errungenschaften der Allgemeinen Relativitätstheorie ansah. Interessanterweise hat Einstein diese Vereinigung nicht in den Feldgleichungen angesiedelt, sondern in seiner Interpretation der geodätischen Gleichung, dem Bewegungsgesetz von Testteilchen.

Und diese kurze Monographie zum Thema

Abstrakt:

Wie aus der Literatur hervorgeht, gibt es einige Verwirrung bezüglich der Natur des Gravitationsfeldes in Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie. Es wird hier argumentiert, dass diese Verwirrung das Ergebnis einer veränderten Interpretation des Gravitationsfeldes ist. Einstein identifizierte die Existenz von Gravitation mit der Trägheitsbewegung beschleunigender Körper (dh Körper im freien Fall), während zeitgenössische Physiker die Existenz von Gravitation mit Raum-Zeit-Krümmung (dh Gezeitenkräften) identifizierten. Die Interpretation der Gravitation als Krümmung der Raumzeit ist eine Interpretation, mit der Einstein nicht einverstanden war.

(*) Es sollte auch darauf hingewiesen werden, dass Einstein Trägheitskräfte nicht als "Pseudo-Kräfte" betrachtete, sondern als echte Gravitations-"Kräfte", die aus dem Umstand stammen, dass in bestimmten Koordinatensystemen die entfernten Massen im Universum relativ zum Beobachter beschleunigt werden ; Dies induziert diese "Kräfte" auf ähnliche Weise, wenn sich eine Bewegung relativ zu einer Ladung bewegt, werden magnetische Kräfte induziert.

Dass dieser (bei Entfernung und Verteilung der Quellen gleichmäßige) Teil des Gravitationsfeldes durch die Verwendung eines anderen Koordinatensystems entfernt werden kann, rührt daher daher, dass in diesem neuen Koordinatensystem die entfernten Massen nicht beschleunigt werden, und also sind im Prinzip nur ihre (lokal vernachlässigbaren) Gezeitenkräfte nachweisbar.

(**) Ein Beispiel, bei dem klar ist, dass ein Gravitationsfeld vorhanden ist, aber keine lokale Krümmung (dh Gezeitenkräfte), kann in der Newtonschen Schwerkraft gefunden werden: Eine kugelförmige Masse mit gleichmäßiger Dichte mit einem nicht konzentrischen kugelförmigen Hohlraum darin. Innerhalb des Hohlraums gibt es ein gleichmäßiges Gravitationsfeld, aber keine Gezeitenkräfte. Es wird eindeutig Gezeitenkräfte sehr nahe und innerhalb der Wände des Hohlraums geben, aber nicht lokal innerhalb des Hohlraums selbst. Ich würde erwarten, dass sich dieses Ergebnis in der angemessenen Grenze auf die allgemeine Relativitätstheorie überträgt.