Wie impliziert das Äquivalenzprinzip eine gekrümmte Raumzeit?

Ich bin etwas verwirrt darüber, wie das Äquivalenzprinzip eine gekrümmte Raumzeit impliziert. Oder wenn es keine gekrümmte Raumzeit impliziert, was genau macht es dann notwendig, eine gekrümmte Raumzeit zu haben?

Ich könnte sehr gut lokale Trägheitsrahmen in der flachen Raumzeit in beliebigen Koordinaten haben. Teilchen, auf die nur die Schwerkraft einwirkt, könnten in der flachen Raumzeit gekrümmten Bahnen folgen und ihre Bahnen wären lokal gerade .

Was genau zwingt also dazu, den Krümmer zu krümmen? Wie genau kommt man zu dem Ergebnis, dass unsere Raumzeit gekrümmt sein sollte ?

Warum nicht einfach die Schwerkraft als Hintergrundkraftfeld in einer flachen Raumzeit untersuchen?

Bearbeiten Sie nach der Antwort :

Warum können wir einfach annehmen, dass die Weltlinien frei fallender Teilchen gekrümmt und nicht gerade sind, sondern in einer flachen Raumzeit?

Dann würde die Divergenz der Geodäten, die durch den Riemann-Tensor erklärt wird, dieser Erklärung nicht bedürfen. Zwei fallende Körper könnten sehr gut einander nahe kommen, weil ihre Weltlichkeit in der flachen Raumzeit gekrümmt wäre.

Warum modellieren wir die Schwerkraft nicht wie andere Kraftfelder als externes Kraftfeld in einer flachen Raumzeit?

Antworten (3)

Betrachten Sie zunächst die Raumzeit ohne Schwerkraft. Sie bemerken, dass Trägheitsobjekte Weltlinien haben, die gerade Linien in der Raumzeit sind, und Beschleunigungsmesser messen, wie stark sich eine Weltlinie in der Raumzeit krümmt, wobei ein Beschleunigungsmesserwert von Null der geraden Weltlinie eines Trägheitsobjekts entspricht. Wichtig ist, dass zueinander ruhende Trägheitsobjekte parallele Weltlinien haben und sich niemals schneiden.

Nun besteht ein Trägheitssystem aus einem Koordinatengitter aus geraden Linien in der Raumzeit, und ein Beschleunigungssystem besteht aus einem Koordinatengitter aus Linien, die sich in Beschleunigungsrichtung krümmen. Die Beschreibung der geraden Weltlinie eines inertialen Objekts in den Beschleunigungskoordinaten erzeugt eine fiktive Kraft (Christoffel-Symbole). Nach dem Äquivalenzprinzip ist die fiktive Kraft lokal äquivalent zur Schwerkraft. Da fiktive Kräfte nichts an der Tatsache ändern, dass eine Trägheits-Weltlinie (Beschleunigungsmesserwert 0) gerade ist, kann auch die Schwerkraft eine Weltlinie nicht daran ändern, dass sie gerade ist. Sonst wäre Gravitation lokal nicht gleichbedeutend mit einer fiktiven Kraft.

Dann erweitern Sie diese Ideen auf eine globale Raumzeit mit Schwerkraft. Objekte im freien Fall haben Beschleunigungsmesser, die Null anzeigen, sodass ihre Weltlinien gerade sind. Aber zwei Objekte im freien Fall, die anfänglich relativ zueinander ruhen, können sich schließlich schneiden. Wir haben also gerade Linien, die zunächst parallel zueinander sind, sich aber schließlich schneiden. Dies ist in einer flachen Raumzeit unmöglich, passiert aber leicht in einer gekrümmten Raumzeit.

Das Äquivalenzprinzip gilt nur lokal in kleinen Regionen, in denen die Schwerkraft ungefähr gleichförmig und die Raumzeit ungefähr flach ist. Über große Bereiche der Raumzeit ist die Schwerkraft ungleichmäßig, und diese ungleichmäßige Schwerkraft (Gezeitengravitation) ist die Raumzeitkrümmung.

Ok das verstehe ich. Aber ich sage, warum können wir nicht davon ausgehen, dass die Weltlichkeit frei fallender Teilchen in der flachen Raumzeit gekrümmt und nicht gerade ist. Dann könnten sich zwei frei fallende Körper sehr wohl ohne die Notwendigkeit eines Riemann-Tensors annähern? Warum modellieren Sie die Schwerkraft nicht einfach als externes Kraftfeld in einer flachen Raumzeit wie andere Kraftfelder? Bitte beachten Sie die Bearbeitung für die Details.
@Shashaank gerade wegen des Äquivalenzprinzips. Das Äquivalenzprinzip besagt, dass die Schwerkraft lokal einer fiktiven Kraft entspricht. Fiktive Kräfte verlassen die Weltlinie gerade und krümmen sie nicht. Das habe ich wohl nicht klar ausgedrückt. Ich werde der Antwort eine Erklärung hinzufügen
Lassen Sie es mich so sagen: „Warum zwingt die Tatsache, dass sich die Schwerkraft lokal wie eine fiktive Kraft verhält, dazu, dass unsere Mannigfaltigkeit gekrümmt ist, oder warum erlaubt diese Tatsache nicht, die Schwerkraft als ein äußeres Kraftfeld zu untersuchen, das im Hintergrund auf die flache Raumzeit wirkt .
Ich glaube, ich verstehe. Gekrümmte Raumzeit wäre nicht nötig gewesen, wenn sich die Schwerkraft global und nicht nur lokal als fiktive Kraft verhält. Wie ein sich beschleunigender Rahmen. Die fiktive Kraft ist global gleich und daher verschwindet der Riemann-Tensor für die Metrik in diesem Fall. Aber nur weil die Schwerkraft lokal eliminiert werden kann, bedeutet, dass jede Metrik, für die der Riemann-Tensor verschwindet, eine solche Situation nicht erklären würde. Ein konstantes Gravitationsfeld wird nur als fiktive Kraft wirken und könnte daher in der Minkowski-Raumzeit untersucht werden, wie in der Newtonschen Näherung, die wir betrachten \H
(Forts.) als Hintergrundstörung. Wir könnten die Störung der Minkowski-Metrik berücksichtigen, da sie durchgehend konstant war. Gerade weil reale Gravitationsquellen keine konstanten Gravitationsfelder erzeugen, wird es notwendig, sie in einer gekrümmten Raumzeit zu modellieren. Ich glaube, ich verstehe. Ist das in Ordnung? Oder möchten Sie auf eine Korrektur hinweisen?
@Shashaank das scheint mir gut zu sein. Ich denke, du hast es verstanden

Ein Beobachter in einem gleichmäßig beschleunigten Koordinatensystem, das ist das typische Beispiel für das Äquivalenzprinzip, hat eine flache Raumzeit.

Aber es ist schwierig, sich einen Haufen Materie vorzustellen, der ein solches Feld erzeugen kann. Materie neigt dazu, sich in einer ungefähr kugelförmigen Form zu konzentrieren, wodurch ein nicht gleichförmiges Feld erzeugt wird, in dem der Riemann-Tensor nicht Null ist.

Die beste einfache Antwort, die ich dafür gefunden habe, ist in The Feynman Lectures.

Nach dem Äquivalenzprinzip messen Uhren auf unterschiedlichen Höhen die Zeit mit unterschiedlichen Raten.

[In einer Rakete, die bei g beschleunigt, (Rate am Empfänger in Höhe H)=(Emissionsrate)( 1 + G H / C 2 )]

Aber das gibt Ihnen keine Krümmung. Um zur Krümmung zu gelangen, fordert Feynman Sie auf, zwei Pfade in der Raumzeit zu betrachten, die sich treffen würden, wenn es keine Schwerkraft gäbe. Der erste Pfad verläuft entlang der Zeitachse 100 Sekunden nach B. Sie bewegen sich nicht im Raum; nur rechtzeitig. Dann gehen Sie im Feld H Fuß nach oben zu Punkt D. Der zweite Pfad führt im Feld H Fuß nach oben zu Punkt C. Dann warten Sie 100 Sekunden. Sie werden feststellen, dass Sie nicht am Punkt D in der Raumzeit sind. Weil die Zeit auf der Höhe H schneller verging. Das ist die Raumzeitkrümmung.

Die Feynman-Vorlesungen. Band 2. Kapitel 42.

https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_42.html

Das Äquivalenzprinzip allein gibt Ihnen also keine Raumzeitkrümmung. Um die Krümmung zu erhalten, müssen Sie auch verschiedene Regionen in der Raumzeit vergleichen.

Warum modellieren wir die Schwerkraft nicht wie andere Kraftfelder als äußeres Kraftfeld auf einer flachen Raumzeit?

Die Schwierigkeit, die Einstein hatte, war, dass er eine relativistische Theorie brauchte. Und er wollte auch, dass es die Wirkung der Schwerkraft auf das Licht erklärt. Es ist nicht einfach, eine solche Feldtheorie der Gravitation aufzustellen. Sie sind restriktive Annahmen. Und dann wurde seine Theorie durch Experimente bestätigt.

Es gibt auch Modelle kleiner Bereiche der Raumzeit als Newton. Die Gezeiten-"Kräfte" von GR werden als reguläre Kräfte modelliert. Newtons Theorie ist ebenfalls eine Annäherung an GR. Aber es gibt natürlich viele GR-Dinge, die Sie nicht aus der Newtonschen Schwerkraft herausbekommen. Durch die Gleichungen der Newtonschen Gravitation werden die Uhren niemals langsamer.

Ich mochte diese Antwort. Kennen Sie Versuche, die Schwerkraft als äußeres Kraftfeld zu untersuchen? Was genau waren die Probleme dabei? War es nicht möglich, einen sich endlich ausbreitenden Einfluss als Hintergrund auf die Minkowski-Raumzeit zu haben? Wenn die Feldstärke geringer ist, können wir sie tatsächlich als Hintergrundfeld im Minkowski-Raum studieren. War die endliche Ausbreitung der Schwerkraft im Starkfeldregime ein Problem, um sie als externes Feld in der Minkowski-Raumzeit zu untersuchen
Angesichts der Tatsache, dass das Newtonsche Gesetz der elektrostatischen Kraft ähnlich ist, muss jemand versucht haben, die Schwerkraft anhand der Elektrodynamik zu modellieren. Aber Licht hat keine Masse oder Ladung, so dass die Theorie die Biegung von Lichtstrahlen und den Gravitationslinseneffekt nicht erklären könnte. Ich würde es umkehren und fragen, warum man angesichts der Tatsache, dass GR wahr ist, nicht dasselbe ohne GR beschreiben kann. Die Hauptsache ist, dass GR Vektoren und Tensoren verwendet, die Raum und Zeit mischen, und eine nicht-relativistische Theorie wird das nicht tun. Aber ich bin kein Experte. Und ich glaube, dass es zu diesem Thema noch viel mehr zu sagen gibt.
(E&M ist natürlich relativistisch.)
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