Wie die Wellenlänge eines Photons durch ein einheitliches Gravitationsfeld beeinflusst wird

Question

Wie die Wellenlänge eines Photons durch ein einheitliches Gravitationsfeld beeinflusst wird

Schwere
Physik
Koordinatensystem
generelle Relativität
Äquivalenzprinzip
Gravitations-Rotverschiebung

Genie

In Gegenwart eines einheitlichen Gravitationsfeldes erhalten zwei Beobachter an festen Positionen unterschiedliche Frequenzmessungen desselben Photons. Ein Beobachter am Ursprung einer Koordinatensystemmessung $\nu_1$ und eine an fester Position $x$ im gleichen Koordinatendiagramm messen $\nu_2$ . Die Beziehung ist

\begin{matrix} (1) & v_{2} = v_{1} (1 + \frac{ϕ}{C^{2}}) \end{matrix}

$\nu_2 = \nu_1 \left( 1 + \frac{\phi}{c^2} \right) \tag1$

Wo ist der Potentialunterschied $\phi \le 0$ , so dass $\nu_2 \le \nu_1$ . In Einsteins 1911 erschienenem Artikel „On the Influence of Gravitation on the Propagation of Light“ gibt es jedoch eine Formel für die Lichtgeschwindigkeit, die jeder Beobachter erhält. Wenn der Beobachter das misst $\nu_1$ auch Maßnahmen $c_0$ und der messende Beobachter $\nu_2$ auch Maßnahmen $c$ Wir haben die Formel

C = C_{0} (1 + \frac{ϕ}{C^{2}})

$c = c_0 \left( 1 + \frac{\phi}{c^2}\right)$ .

Mein Punkt ist: Wie sollte sich die Wellenlänge des Photons zwischen diesen Beobachtern ändern? Beim Vergleich der beiden Formeln versuche ich zu glauben, dass sich die Beobachter über die Messung der Wellenlänge einig sind, aber da sich die Frequenz ändert, sollte die Wellenlänge auch für jede Messung unterschiedlich sein. Wo ist mein Fehler?

anna v

Es ist gut, immer daran zu denken, dass Licht aus der quantenmechanischen Ebene von Photonen hervorgeht, aber Photonen sind kein Licht. Sie haben die Energie h*nu, wobei nu die Frequenz des austretenden Lichts sehr vieler Photonen ist, aber die Photonen haben keine Wellenlänge, sie sind Punktteilchen en.wikipedia.org/wiki/Elementary_particle

Genie

@annav vielen Dank, diese Kommentare haben mir sehr geholfen. Wenn ich jedoch in meiner Frage "Photon" in "einen Lichtstrahl" ändere, würde dieses Problem bestehen bleiben?

anna v

es würde es mit der Antwort und der Tatsache, dass Sie nach der Messung von Wellenlängen fragen, in Einklang bringen.

Peter Bernhard

Sie fragen nicht, ob die Gravitationskraft auf verschiedene Wellenlängen (also Energien) von Photonen unterschiedlich wirkt? Wie ist das zu verstehen?

Antworten (2)

Wie die Wellenlänge eines Photons durch ein einheitliches Gravitationsfeld beeinflusst wird

Es ist gut, immer daran zu denken, dass Licht aus der quantenmechanischen Ebene von Photonen hervorgeht, aber Photonen sind kein Licht. Sie haben die Energie h*nu, wobei nu die Frequenz des austretenden Lichts sehr vieler Photonen ist, aber die Photonen haben keine Wellenlänge, sie sind Punktteilchen en.wikipedia.org/wiki/Elementary_particle
@annav vielen Dank, diese Kommentare haben mir sehr geholfen. Wenn ich jedoch in meiner Frage "Photon" in "einen Lichtstrahl" ändere, würde dieses Problem bestehen bleiben?
es würde es mit der Antwort und der Tatsache, dass Sie nach der Messung von Wellenlängen fragen, in Einklang bringen.
Sie fragen nicht, ob die Gravitationskraft auf verschiedene Wellenlängen (also Energien) von Photonen unterschiedlich wirkt? Wie ist das zu verstehen?

Mike Stein · Answer 1

Warum lesen und nehmen Sie eine Zeitung von 1911 ernst? Einstein hatte das Zusammenspiel von Schwerkraft und Zeit noch nicht verstanden.

Die Formel, die Sie für die Lichtgeschwindigkeit angeben, ist jetzt bekanntlich die Geschwindigkeit in Koordinatenzeit . Die tatsächliche Lichtgeschwindigkeit, die von einer Uhr gemessen wird, ist $c$ für alle Beobachter überall. Die Beziehung $\lambda \nu=c$ gilt für alle Beobachter, so dass eine Abnahme der Frequenz mit einer Zunahme der Wellenlänge einhergeht.

Die "Transformation" der Wellenlänge muss also nur mit Gl. (1) und nicht mit der Lichtgeschwindigkeitsgleichung?
Sie sollten die irreführende (dh falsche) „Lichtgeschwindigkeitsgleichung“ ignorieren.

KP99 · Answer 2

Betrachten Sie einen anderen Ansatz, beginnen Sie mit der geodätischen Gleichung für Lichtstrahlen:

P^{v} \nabla_{v} P^{μ} = \frac{D P^{μ}}{D τ} + Γ_{ρ v}^{μ} P^{ρ} P^{v} = 0

$P^{\nu}\nabla_{\nu}P^{\mu}=\frac{dP^{\mu}}{d\tau}+\Gamma^{\mu}_{\rho\nu}P^{\rho}P^{\nu}=0$ Wo

P^{μ} = \frac{d x^{μ}}{d τ} = (E, p, 0, 0)

$P^{\mu}=\frac{dx^{\mu}}{d\tau}=(E,p,0,0)$ (sagen wir) ist der 4-Impuls des Photons mit

E = p

$E=p$ . Verwenden Sie nun die De-Broglie-Beziehung

P = \frac{H}{λ}

$p=\frac{h}{\lambda}$ und setzen Sie dies in die obige Gleichung ein, um die Entwicklung der Wellenlänge zu erhalten

λ

$\lambda$ zwischen zwei Punkten auf einer gegebenen Geodäte (Beim Lösen dieser Gleichung erhalten Sie

λ = λ (τ)

$\lambda=\lambda(\tau)$ ,

τ

$\tau$ der affine Parameter auf der Null-Geodäte ist). Manchmal kann die Raumzeit Killing-Vektorfelder zulassen

K^{μ}

$K^{\mu}$ , zu denen wir die Mengen haben

Q_{K} = K^{μ} P_{μ}

$Q_K=K^{\mu}P_{\mu}$ konserviert entlang der Null-Geodäten (

P^{μ} \nabla_{μ} Q = 0

$P^{\mu}\nabla_{\mu}Q=0$ ). Diese Erhaltungsgrößen können den Ausdruck für vereinfachen

λ = λ (τ)

$\lambda=\lambda(\tau)$

Im Allgemeinen bei einem 4-Impulsvektor $P^{\mu}\sim (\omega, \textbf{k})$ , die vom Beobachter gemessene Nettowellenzahl (mit einem Geschwindigkeitsfeld $U^{\mu}$ ) Ist $|k|^2=\frac{1}{\lambda^2}\sim -h_{\mu\nu}P^{\mu}P^{\nu}$ , Wo $h_{\mu\nu}=g_{\mu\nu}-U_{\mu}U_{\nu}$ ist die induzierte Metrik auf der dreidimensionalen Oberfläche orthogonal zu $U^{\mu}$ .

Wir können annehmen, dass das Geschwindigkeitsfeld des Beobachters geodätisch und bezüglich einiger Parameter affin ist $\sigma$ . Für ein konstantes Gravitationsfeld können Sie eine ungefähre Metrik konstruieren $g_{\mu\nu}$ so dass es (im nichtrelativistischen Limes) erfüllt:

{\ddot{X}}^{ich} = \frac{D U^{ich}}{D σ} \approx - Γ_{00}^{ich} (U^{0})^{2} = G^{ich}

$\ddot{x}^i=\frac{dU^i}{d\sigma}\approx-\Gamma^{i}_{00}(U^0)^2=g^i$ i=1,2,3 und

g^{i}

$g^i$ sind die Komponenten des konstanten Gravitationsfeldes.

Wird Licht abgelenkt, abgelenkt durch Gravitationskraft in Abhängigkeit von seiner Wellenlänge? Blaues Licht wird von der Erde in einem anderen Winkel abgelenkt? (wie bei der Rayleigh-Streuung)
@PeterBernhard Im Prinzip ja. Wir müssen die Anfangsdaten bereitstellen $P^a_0\sim (\omega, k^i)$ manchmal $\tau=\tau_0$ und lass es sich nach der geodätischen Gleichung entwickeln. Wenn das Problem gut gestellt ist, entsprechen unterschiedliche Anfangsdaten unterschiedlichen Geodäten.

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