Hat die Koordinatenzeit eine physikalische Bedeutung?

Die Eigenzeit stellt die physikalische Alterung eines massiven Teilchens dar und ist damit die einzige Zeit, die für die physikalische Beschreibung eines Teilchens zu berücksichtigen ist.

Aber die Koordinatenzeit ist nicht ohne physikalische Bedeutung: Ohne die Koordinatenzeit gäbe es keine Erfassung von Ereignissen . Wenn zwei Teilchen durch den gleichen Ort im Raum reisen, wird ihre Eigenzeit nicht die Information liefern, ob sie gleichzeitig passiert ist, dh dass sie aufeinander getroffen sind, dh dass es ein Ereignis gibt. Für diese Informationen benötigen Sie das Minkowski-Diagramm von mindestens einem der beiden Teilchen, und übrigens enthält das Minkowski-Diagramm jedes Beobachters die Koordinaten beider Teilchen und liefert die Information, ob sie sich begegnet sind oder nicht.

Minkowski-Diagramme zeigen die Koordinatenzeit aller Teilchen (mit unterschiedlicher Gleichzeitigkeit). Im Gegensatz dazu ist es nicht möglich, die Eigenzeit zweier unterschiedlicher Frames in einem Diagramm darzustellen.

Die Koordinatenzeit ist lediglich eine Parametrisierung, nur die Eigenzeit ist physikalisch.

Für jede zeitähnliche Kurve (nicht unbedingt eine Geodäte) können Sie jedoch einen Satz von Koordinaten auswählen, sodass die Eigenzeit gleich der Koordinatenzeit ist ( Beweis ). Diese werden mitbewegte Koordinaten genannt und werden häufig in der Kosmologie verwendet.

Die Zeitkoordinate in einem mitbewegten Rahmen ist per Definition physikalisch, weil sie die Eigenzeit des Beobachters auswertet. Wenn wir das Alter des Universums angeben, verwenden wir genau die Mitbewegungszeit eines Beobachters, der seit dem Urknall mit der Expansion reist.

Die verwirrende Aussage, die Sie aus Wikipedia zitiert haben, ist das Ergebnis einer schlechten Namenskonvention. Wenn wir das baryzentrische Bezugssystem als das mit der Sonne mitbewegte System definieren, dann ist die Koordinatenzeit genau die Zeit, die auf einer Uhr auf der Sonne gemessen wird.

Aus mir unbekannten Gründen definieren Astronomen das baryzentrische Referenzsystem anders, möglicherweise weil es die Berechnungen erleichtert! Aber solange es einen Standard gibt, auf den sich alle einigen, spielt die Wahl des Rahmens keine Rolle.

Schließlich denke ich, dass Ihre Vorlesungsnotizen irreführend sind. Nehmen wir Ihr Beispiel der Gravitations-Rotverschiebung. Das ist der springende Punkt der Allgemeinen Relativitätstheorie$d\tau_1\neq d\tau_2$wenn Sie dasselbe Ereignis aus verschiedenen Frames betrachten! Die Gesetze der Physik müssen in jedem Frame gleich sein, aber Messungen der Eigenzeit können unterschiedlich sein, da sie ein Avatar Ihrer Perspektive sind.

Hier ist ein konkretes Beispiel ( Referenz ). Stellen Sie sich einen atomaren Übergang in der Nähe eines Schwarzen Lochs vor. Beobachter$A$sitzt in Ruhe relativ zum Atom, unendlich weit entfernt vom Schwarzen Loch und misst$d\tau_A$. Beobachter$B$bewegt sich mit dem Atom und misst$d\tau_B$.

Um eine Berechnung durchzuführen, müssen wir ein Koordinatensystem auswählen. Lassen Sie uns Schwarzchild-Koordinaten auswählen, die als die mitbewegten Koordinaten des Beobachters im Unendlichen definiert sind. Deshalb haben wir

Da beobachten$A$relativ zum Atom ruht,$dx^i$muss für den Beobachter Null sein$B$. Verwenden Sie daher die Schwarchild-Metrik in Schwarzchild-Koordinaten

Wo$r_s$ist der Schwarzschild-Radius, und$r$die Entfernung des Atoms vom Zentrum des Schwarzen Lochs. Das sehen wir sofort

was einer Rotverschiebung der Frequenz entspricht, wenn sich das emittierte Photon gegen das Gravitationsfeld nach außen bewegt.

[...] die Bedeutung des "$t$", das in Raumzeitintervallen oder Metriken in der allgemeinen Relativitätstheorie erscheint. Daraus folgerte ich$t$war nur eine mathematische Sache, die es erlaubte, die "Raumzeit-Mannigfaltigkeit" zu bezeichnen

In erster Linie liefern Koordinaten lediglich eine eindeutige („eins-zu-eins“) Kennzeichnung von Elementen eines gegebenen Satzes$\mathcal S$durch Elemente von$\mathbb R^n$(also durch$n$-Tupel reeller Zahlen für eine geeignete natürliche Zahl$n$); und insbesondere von unterschiedlichen Ereignissen (dh von einer bestimmten „ Raumzeit “-Menge$\mathcal S$unter Berücksichtigung). Formal ist die Zuordnung von Koordinaten (nur) eine Landkarte:

$c~:~ \mathcal S ~ \rightarrow ~ \mathbb R^n$.

Abhängig von weiteren Beziehungen zwischen Elementen der Menge$\mathcal S$(geometrische Beziehungen zwischen betrachteten Ereignissen) können zusätzliche Anforderungen an Koordinatenzuweisungen gestellt werden:

• wenn Elemente (oder Teilmengen) der Menge$\mathcal S$identifiziert werden können, die (als Folge ) dann einer gegebenen Koordinatenzuordnung geordnet sind$c$kann in Bezug auf die "offensichtliche Reihenfolge reeller Zahlen" in einer oder in mehreren Koordinatentupelkomponenten monoton sein oder nicht ;

• wenn Teilmengen von Menge$\mathcal S$identifiziert werden, die einen topologischen Raum bilden$T$dann eine gegebene Koordinatenzuordnung$c$kann kompatibel sein oder nicht$T$im Sinne eines Homöomorphismus in Bezug auf die "offensichtliche Topologie des Realen" .$n$-tupel" . Also das Paar "$(~\mathcal S, T~)$" kann eine Mannigfaltigkeit sein oder nicht ; und wenn ja, eine gegebene Koordinatenzuweisung$c$kann kontinuierlich sein oder nicht .

• wenn es eine (geeignet verallgemeinerte) Metrik gibt$s$zum Set erhältlich$\mathcal S$dann eine gegebene Koordinatenzuordnung$c$kann im Sinne von kompatibel sein oder nicht$s$differenzierbar oder sogar affin sein , separat für eine beliebige Koordinatentupelkomponente (z. B. für "$t$", für "$r$", oder für "$\phi$" usw.) in Bezug auf die "offensichtliche Metrik der reellen Zahlen" .

In der allgemeinen Relativitätstheorie werden Ereignissen (im Allgemeinen) differenzierbaren oder sogar glatten Ereignissen zugeordnet. die (gegebenen) Raumzeitintervalle$s^2$; innerhalb eines ausreichend "kleinen" Koordinatenflecks.

Außerdem ist der Name „$t$" wird in der Regel nicht irgendeiner Koordinatentupelkomponente gegeben, sondern (nur ggf.) einer, die monoton bezüglich der Abfolge von Elementen zeitartiger Kurven und monoton bezüglich der Abfolge raumartiger Hyperflächen ist, und sogar affin in Bezug auf die Dauer$\tau A_{\circ P}^{\circ Q} \equiv \sqrt{-s^2[~\varepsilon_{AP}, \varepsilon_{AQ}~]}$geeigneter Teilnehmer$A$(aber vor allem deshalb nicht kollektiv zu den Dauern jedes einzelnen Teilnehmers affin).

1) $\frac{dt}{d\tau} = \gamma.$Wenn$t$ist nicht physisch [...]

Nun, in dem Kontext, in dem diese Gleichung hergeleitet wird,$t$ist nicht irgendeine (beliebige, eineindeutige, aber ansonsten " nicht-physikalische ") Koordinatenzuweisung. Mit einer expliziteren und angemesseneren Notation erscheint die Gleichung als

Wo

• $P$Und$Q$bezeichnen zwei zueinander passende Teilnehmer in Ruhe
• "$P_{\circ A}$" bedeutet Teilnehmer$P$'s Angabe, vom Teilnehmer erfüllt und bestanden worden zu sein$A$, Und
• "$P^{\circledS Q \circ A}$" bedeutet Teilnehmer$P$'s Angabe gleichzeitig zum Teilnehmer$Q$'s Angabe, vom Teilnehmer erfüllt und bestanden worden zu sein$A$.

2) Betrachten Sie einen atomaren Übergang an der Erdoberfläche, bei [...]. Das Zeitintervall

... sagen wir: die Dauer einer beliebigen Schwingungsperiode ...

gemessen von einem stationären Beobachter in der Nähe des Atoms ist gegeben durch:$d\tau_1 = [...]$

... wobei es für die Dauer einer beliebigen Schwingungsperiode des betrachteten Atoms (an der Erdoberfläche) natürlich völlig unerheblich ist, ob und wie es mit Koordinaten beschriftet werden könnte.

Stellen Sie sich jetzt den gleichen atomaren Übergang vor, aber sagen wir 100 km über der Erdoberfläche bei [...]. Das von einem Beobachter in der Nähe des Atoms gemessene Zeitintervall [Schwingungsperiodendauer] ist:$d\tau_2 = [...]$.

Da die Physik der atomaren Übergänge die gleiche ist [für diese zwei getrennten Atome], sollte man haben:$d\tau_1 = d\tau_2$.

Rechts: das meinen wir damit, dass die Schwingungsperiodendauern dieser beiden Atome gleich sind ; oder kurz: diese beiden Atome sind gleich
(im Hinblick auf das Maß, das hier am relevantesten ist, und oder natürlich unabhängig von einer bestimmten Besprengung dieser Atome mit Koordinatenbezeichnungen).

Aber was ist die physikalische Bedeutung der Menge$\frac{dx^0_1}{dx^0_1} = \frac{\sqrt{g_{00}(x_2)}}{\sqrt{g_{00}(x_1)}}$?

Soweit
- die Schwingungsperiodendauern der beiden Atome getrennt konstant sind, und - die Koordinaten so zugeordnet sind, dass beide$g_{00}(x_1)$Und$g_{00}(x_2)$sind Konstanten

dann ist die „ physikalische Bedeutung “ der Koordinaten, dass sie in Bezug auf die Dauern der beiden Atome jeweils affin sind.

Aber die zusätzliche, gegebene oder messbare Tatsache, dass$d\tau_1 = d\tau_2$schränkt den Wert von nicht weiter ein$\frac{\sqrt{g_{00}(x_2)}}{\sqrt{g_{00}(x_1)}}$.

Meiner Meinung nach besteht die einzige Möglichkeit zur Berechnung der Gravitationsrotverschiebung darin, das von einem Beobachter gemessene richtige Intervall zu vergleichen$x_1$und eins drin$x_2$für einen atomaren Übergang, der in stattfindet$x_1$.

Meiner Meinung nach ist der wichtigste und relevanteste chronometrische Vergleich zwischen Ping-Dauern (vgl. meine Antwort dort: "An accelerating train ...", PSE/q/38377 ;
insbesondere für Beobachterpaare, deren gegenseitige Ping-Dauern (getrennt) konstant sind, dh die "chronometrisch starr zueinander" stehen.

Nur in Bezug auf die ungleichen Ping-Dauern

• eines Beobachters „ an der Erdoberfläche “ (vom Aussprechen eines Signalzeichens, bis zum Sehen, dass der Begleiter „ 100 km über der Erdoberfläche “ dieses Signalzeichen gespürt hatte), und

• eines Beobachters „ 100 km über der Erdoberfläche “ (vom Aussprechen eines Signalzeichens, bis zum Erkennen, dass der Begleiter „ auf der Erdoberfläche “ dieses Signalzeichen gespürt hat),

konnten sie in den betrachteten Versuchen sogar schlüssig feststellen, dass ihre einzelnen Atome gleiche Schwingungsperiodendauern hatten.

Insbesondere: Die Anzahl der „ an der Erdoberfläche “ gezählten Schwingungsperioden im Verlauf einer „Ping-Periode (100 km rauf und zurück)“
ist ungleich der gezählten „ 100 Schwingungsperioden“. km über der Erdoberfläche " im Laufe einer "Ping-Periode (ganz nach unten und zurück)".

Im Allgemeinen sollten die Koordinaten, die zum Schreiben einer beliebigen Metrik verwendet werden, als Beschriftungen von Raum-Zeit-Punkten angesehen werden. Einige Koordinaten können mit vertrauten Dingen verwandt sein, andere jedoch nicht (zumindest nicht auf einfache Weise), also hüten Sie sich davor, zu viel Vertrautheit in ihnen zu finden.

Betrachten wir nun die Minkowski-Raumzeit und die Bedeutung der Koordinate$t$eines Trägheitsbeobachters. Was macht$t$bedeuten? Nun, es ist nur die Zeit, die von Uhren angegeben wird, die in Bezug auf Sie zufällig stationär sind.

Nun, wenn Sie erwarten, dass diese Zeit, die Ihnen von stationären Uhren gegeben wird, ein treuer Weg ist, um Ereignisse überall in der Raumzeit zu ordnen, werden Sie enttäuscht sein, und es ist leicht einzusehen, warum. Sie können leicht erkennen, dass zwei Trägheitsbeobachter sich möglicherweise nicht einig sind$\Delta{}t$von zwei Veranstaltungen. Betrachten Sie einfach zwei beliebige Ereignisse und verwenden Sie eine allgemeine Lorentz-Transformation und gehen Sie zu einem anderen Frame, und Sie werden das sehen$\Delta{}t$kann wechseln. Wenn diese Ereignisse raumartig voneinander getrennt sind, können sich verschiedene Beobachter sogar über das Vorzeichen streiten$\Delta{}t$.

Für einige Beobachter ist es also so, als ob zuerst ein Ereignis passiert ist und dann das andere, und für andere Beobachter ist es umgekehrt. Also, welches Ereignis ist zuerst passiert? Die Antwort ist, dass diese Frage wirklich bedeutungslos ist. Die Zeit ist lokal. Die Zeit, die eine Uhr angibt, macht nur Sinn für den, der sie trägt, an dem Punkt, an dem er sie trägt. Das ist der Sinn, in dem die Relativität das Konzept der absoluten Zeit tötet. Eine Frage mit dem Wort "während" darin zu stellen, ist wirklich bedeutungslos.

Die Lorentz-Koordinate$t$, (und auch der Rest$x$,$y$,$z$) sagen dir nur, wie du mit den restlichen Raum-Zeit-Punkten kausal verbunden bist, wie dir das Universum erscheint, oder besser gesagt, wie Ereignisse in den restlichen Raum-Zeit-Punkten dich beeinflussen können. Wenn zum Beispiel für einen Beobachter zwei Ereignisse gleichzeitig stattfinden ($\Delta{}t=0$) und räumlich gleich weit vom Beobachter getrennt, erreichen die Informationen dieser beiden Ereignisse (z. B. übertragen durch Photonen) den Beobachter gleichzeitig. Nichtsdestotrotz wird ein anderer Lorentz-Beobachter von einem vor dem anderen wissen (und wie oben argumentiert, können sich verschiedene Lorentz-Beobachter sogar darüber streiten, welcher zuerst angekommen ist, obwohl sich alle diese Beobachter am selben Punkt befinden! (Natürlich, da diese Lorentz Beobachter haben unterschiedliche Geschwindigkeiten, sie bleiben nicht am selben Punkt und warten auf das kommende Signal, daher muss auch die Wirkung der Bewegung berücksichtigt werden)). Verschiedene Lorentz-Beobachter sind nur auf unterschiedliche Weise ursächlich mit dem Rest der Ereignisse verbunden.

Wenn Sie nun die verstrichenen Zeiten verschiedener Beobachter (oder Objekte oder was auch immer) vergleichen möchten, die zufällig einmal zusammen waren und nach einer Weile wieder vereint sind, müssen Sie nur die Eigenzeiten vergleichen, dh die Zeit, die von Uhren angegeben wird, die bei ihnen waren die ganze Zeit.

Die Eigenzeit ist die Zeit, die von einer Uhr gemessen wird, die sich entlang einer Trägheitsbahn bewegt. Die Koordinatenzeit kann man sich als Zeitachse in einem Raum-Zeit-Diagramm vorstellen; Als Beispiel kann man sich die Koordinatenzeit als die Zeit vorstellen, die von einem externen Beobachter der Uhr gemessen wird. Diese Zeiten sollen verglichen werden, da in der Relativitätstheorie die Zeit für verschiedene Trägheitspfade mit unterschiedlichen Raten vergeht. Wenn sich zwei Objekte gemeinsam bewegen, sind die beiden Zeiten gleich. Hoffe das hilft Viel Glück!