Unterschied zwischen Koordinatenzeit und Eigenzeit in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Tatsächlich könnte die Koordinatenzeit zwischen zwei Ereignissen diejenige sein, die von jedem Beobachter gemessen wird, der nicht unbedingt weit entfernt sein muss. Wie Sie sagten, ist für die Person, die beide Ereignisse tatsächlich durchläuft, ihre Koordinatenzeit zufällig die richtige Zeit. Für jemanden, der das erste Ereignis durchläuft, aber nicht das zweite, können wir einfach die hyperbolische Rotation der speziellen Relativitätstheorie anwenden, um zwischen den richtigen und den beobachteten Koordinaten zu wechseln, wenn die Ereignisse nahe beieinander liegen.

Wenn der Beobachter jedoch weit von einem der beiden Ereignisse entfernt ist , müssen Sie herausfinden, welcher Punkt auf dem Pfad des Beobachters "gleichzeitig" mit dem Ereignis ist. Die Schlüsselidee hier ist, dass in der Raumzeit, ob spezielle oder allgemeine Relativitätstheorie, eine Richtung, die Sie als räumliche Trennung wahrnehmen, immer orthogonal zu der Richtung ist, die Sie als Zeit wahrnehmen.

Sie verfolgen also einen Pfad, der orthogonal zur Weltlinie des Beobachters ist und durch das Ereignis verläuft. Es sollte eine "gerade Linie" sein, was bedeutet, dass es sich um eine Geodäte handelt. Wir können sagen, dass der Punkt, an dem diese Geodäte die Weltlinie des Beobachters schneidet, die Zeit darstellt, zu der er das Ereignis wahrnimmt.

Machen Sie das für beide Ereignisse, nehmen Sie die Differenz der beiden Beobachterzeiten, und das wird die wahrgenommene (Koordinaten-) Zeitdifferenz sein.

[BEARBEITEN: Hier ist ein Bild, um das Konzept zu veranschaulichen. Sie können sich vorstellen, dass diese Geodäten entlang einer gekrümmten Oberfläche verlaufen, die die Raumzeitkoordinaten des Beobachters darstellt. Denken Sie nur daran, dass dies nicht "maßstabsgetreu" ist, nicht nur, weil die reale Raumzeit 4D ist, sondern weil die Metrik selbst hyperbolisch ist. Wenn Sie beispielsweise einen Pfad gezeichnet haben, der ein Photon darstellt, wäre die richtige Zeit zwischen zwei beliebigen Ereignissen null.]

Übrigens können Sie, indem Sie eine Familie von Geodäten orthogonal zur Weltlinie nehmen und den Punkt auf jeder von ihnen in einem bestimmten Abstand auswählen, einen Pfad konstruieren, der sich mit dem Beobachter "mitbewegt", dh er behält dieselbe räumliche Trennung bei. Indem Sie jedem dieser Punkte die gleichen räumlichen Koordinaten und die Zeit zuweisen, die mit der Zeit des Beobachters übereinstimmt, erstellen Sie ein mitbewegtes Koordinatensystem, das dem Beobachter Zeit für jedes mögliche Ereignis gibt. Ich denke, das ist das System, auf das sie sich beziehen, wenn sie es Koordinatenzeit nennen. Es kann jedoch Fälle geben, in denen dies nicht global möglich ist.

Ich glaube ehrlich, dass diese Art von Fragen einige Formeln erfordern. Zunächst einmal einigen wir uns auf die Einstellung. In der Allgemeinen Relativitätstheorie (GR) die Metrik$g_{\mu\nu}$ist ein dynamischer Tensor, d. h. es ist ein Tensor, der nicht konstant ist. Die Metrik codiert, wie man Entfernungen, Zeitintervalle oder besser Raum-Zeit-Intervalle misst. Diese Metrik hängt von den Koordinaten ab, die Sie für den Abschnitt der Raumzeit wählen, den Sie in Betracht ziehen, ohne Verlust der Allgemeinheit nennen Sie sie wie folgt:

$$g_{\mu\nu} = g_{\mu\nu}(t,x_1,x_2,x_3)$$

Das Wichtige ist, dass die Dinge lokal, sagen wir, wenn wir einen ausreichend kleinen Fleck untersuchen, wie in der speziellen Relativitätstheorie sind, und das bedeutet, dass es eine Koordinate gibt, nämlich$t$in diesem Beispiel, zu dem ein diagonaler Term$g_{tt}$, mit einem entgegengesetzten relativen Vorzeichen verbunden ist. Diese Koordinate wird normalerweise als Koordinatenzeit bezeichnet oder ist zumindest dafür verantwortlich zu definieren, was zeitähnlich ist. Unterschiedliche Koordinaten und Metriken haben unterschiedliche Verhaltensweisen und Namen, aber sie alle teilen die Tatsache, dass die Signatur der Metrik (realistische Metriken, nicht euklidisch) dieselbe ist und diese spezielle Koordinate immer existiert.

Bisher haben wir für unseren Patch des "Universums" nur eine Reihe von Koordinaten ausgewählt und festgestellt, dass sich eine davon etwas anders verhält. Lassen Sie uns nun über die richtige Zeit sprechen. Betrachten wir über diesen gewählten Koordinaten einige Geodäten, also Wege, die keine Beschleunigung erfahren. Mathematisch gesehen ist ein Weg in der Raumzeit in diesen Koordinaten nur eine Funktion, die von einem Parameter abhängt$s$, die einen Punkt in der Raumzeit zurückgibt:

$$\gamma(s)=(t(s),x_1(s),x_2(s),x_3(s))$$ Wie Sie vielleicht wissen, gibt es mit anderen Worten unendlich viele Möglichkeiten, eine Kurve zu parametrisieren$s$kann für einige andere Parameter geändert werden. Aber wieder zum Vergleich sucht man nach einem "Standard", diese natürliche Wahl ist die Bogenlänge des Pfades selbst. Unter der Annahme, dass dieser Pfad zeitähnlich ist (was einfach bedeutet, dass seine Geschwindigkeit immer niedriger als die Lichtgeschwindigkeit ist), ist die Bogenlänge dieses Pfades in 4 Dimensionen das, was wir mathematisch Eigenzeit nennen : $$\gamma(\tau)=(t(\tau),x_1(\tau),x_2(\tau),x_3(\tau))\Leftrightarrow \bigg|\frac{d\gamma}{d\tau}\bigg|^2=1$$ es hat die Zeiteinheiten und hat die Interpretation, das zu sein, was eine Uhr, die entlang dieser Geodäte wandert, anzeigen würde. Es ist die Parametrierung, die für eine konstante Geschwindigkeit von 1 bzgl. des Parameters sorgt$\tau$.

Oben habe ich nur die Definitionen so gut wie möglich präsentiert, ohne in den vollen mathematischen Modus zu wechseln. Lassen Sie uns Kontakt mit Beobachtern aufnehmen, und was in der Post erwähnt wurde. Es wird angenommen, dass asymptotische Beobachter eine flache Metrik erfahren (so Minkowski, wenn Sie so wollen), und es passiert einfach, dass ihre Eigenzeit mit der oben definierten Koordinatenzeit zusammenfällt, daher die Terminologie und der Gebrauch. Beachten Sie, dass die Koordinatenzeit nicht von einer Geodäte abhängt, sondern nur von unserer Koordinatenwahl, während die Eigenzeit für jede Geodäte unterschiedlich ist, aber ihre Intervalle nicht von unserer Wahl der Koordinaten abhängen, sie ist eine intrinsische Eigenschaft der Geodäte.

Um auf den letzten Teil Ihrer Frage einzugehen. Ereignisse sind zum Beispiel Punkte in der Raumzeit

$$(t_1,x_1^1,x_1^2,x_1^3)$$ $$(t_2,x_2^1,x_2^2,x_2^3)$$ wobei ich für die Koordinaten den gleichen Namen wie zuvor verwendet habe. Diese Punkte, wie sie geschrieben sind, haben Koordinatenzeiten$t_1$Und$t_2$und Sie können sie subtrahieren, um das Koordinatenzeitintervall zu finden. Trotzdem kann ich auf viele verschiedene Arten über dieselben Punkte sprechen, ich kann die Koordinaten alle zusammen ändern, oder wenn ich zufällig Geodäten habe, die durch sie gehen, könnte man sie durch den Wert des Parameters der Geodäte beschreiben, wenn sie durchgeht diese Punkte. Betrachten Sie dies einfach als Einladung, über die Geometrie der Situation nachzudenken. Abschließend könnte man sagen, dass für bestimmte Raum-Zeit-Metriken, die asymptotisch flach sind, die Zeit in einer Uhr eines weit entfernten Beobachters (seine Eigenzeit) mit der Koordinatenzeit zusammenfällt, sodass die von ihm gemessenen Zeitintervalle Intervalle der Koordinatenzeit sind sowie.

Die Koordinatenzeit ist wie die Koordinatenposition: Es ist eine Koordinate. Koordinaten in der Relativitätstheorie sind wie Koordinaten in der gewöhnlichen Geometrie, und Sie können einen Großteil Ihrer Intuition aus der gewöhnlichen Geometrie übernehmen.

Manchmal gibt es möglicherweise keine Zeitkoordinate. Beispielsweise sind in den Eddington-Finkelstein-Koordinaten für ein Schwarzschild-Schwarzes Loch alle Koordinatenachsen (einschließlich der mit "$t$") zeigen in eine raumähnliche Richtung innerhalb des Ereignishorizonts. Dies hat keine physikalische Bedeutung. Es gibt immer noch zeitähnliche Richtungen innerhalb des Ereignishorizonts, nur dass keine der Koordinaten dieses bestimmten willkürlichen Koordinatensystems zufällig in diese Richtung zeigt. Darüber kann man noch reden$Δt$innerhalb des Horizonts, solange Sie verstehen, dass es raumartig ist.

Die Eigenzeit ist die Länge einer Weltlinie. Dies ist die verstrichene Zeit, die von einer Stoppuhr mit dieser Weltlinie aufgezeichnet wird, oder der Betrag, um den Sie altern, wenn es Ihre Weltlinie ist. Im Gegensatz zur Koordinatenzeit ist es immer eine physikalisch sinnvolle Größe (zumindest wenn ein tatsächliches Objekt diese Weltlinie hat).

die Koordinatenzeit$Δt$entlang eines Weges zwischen zwei Ereignissen ist die Zeit zwischen den beiden Ereignissen, die von einem weit entfernten Beobachter gemessen wird

$Δt$ist nur die$t$Koordinate eines Ereignisses minus der$t$Koordinate eines anderen. Es ist unabhängig von einem Pfad zwischen ihnen. Im Allgemeinen ist dies so bedeutungslos wie die$x$Koordinate eines Punktes minus der$x$Koordinate eines anderen Punktes wäre in der euklidischen Geometrie. Wenn es eine Bedeutung hat, liegt es normalerweise daran, dass es zufällig einer richtigen Zeit entspricht.

Das stimmt so pauschal definitiv nicht$Δt$ist "die von einem fernen Beobachter gemessene Zeit". Dies kann für bestimmte Koordinatensysteme in bestimmten Experimenten zutreffen. Wenn beispielsweise zwei Raketenschiffe relativ zu einem Schwarzschild-Schwarzen Loch ruhen und das erste zwei Lichtimpulse aussendet und das zweite sie erkennt, liegt in der Grenze, dass das zweite Schiff unendlich weit vom Loch entfernt ist, die Eigenzeit zwischen den Erkennungsereignisse entsprechen dem$Δt$der Emissionsereignisse, wenn Sie die verwenden$t$Koordinate der Schwarzschild- oder Eddington-Finkelstein-Koordinaten. Es ist nicht gleich, wenn sich die Schiffe bewegen oder wenn Sie Kruskal-Szekeres-Koordinaten verwenden.