Beziehung zwischen Koordinatenzeit und Eigenzeit

Question

Beziehung zwischen Koordinatenzeit und Eigenzeit

Taptisch

Während ich Ta-Pei Chengs Buch über die Relativitätstheorie las , war ich nicht in der Lage, die richtige Beziehung zwischen der Koordinatenzeit abzuleiten $dt$ (Das Buch definiert es als die Zeit, die von einer Uhr gemessen wird, die sich in befindet $r=\infty$ von der Quelle der Schwerkraft) und Eigenzeit $d\tau$ aus der Definition von Metrik.

Das Buch besagt, dass für ein schwaches und statisches Gravitationsfeld $g_{00}(r)=-\left(1+\frac{2\Phi(r)}{c^2}\right)$ (mit der metrischen Signatur $(-1,1,1,1)$ Und $\Phi(r)$ ist das Gravitationspotential) und die Eigenzeit $d\tau=\sqrt{-g_{00}}\,dt$ .

Aus dem Ergebnis der Gravitationsrotverschiebung weiß ich, dass das obige Ergebnis richtig ist (in einer eindeutigeren Form $d\tau=\sqrt{-g_{00}(r_\tau)}\,dt$ ).

Wenn ich jedoch einfach die Formel für das Raumzeitintervall verwende $ds^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$ (unter der Annahme, dass zwei Uhren, die die Eigenzeit messen und die Zeit koordinieren, relativ zueinander in Ruhe sind), habe ich

D S^{2} = G_{00} (R_{τ}) C^{2} D τ^{2} = G_{00} (R_{T}) C^{2} D T^{2} = - C^{2} D T^{2} ⟹ \sqrt{- G_{00} (R_{τ})} D τ = D T

$ds^2=g_{00}(r_\tau)c^2d\tau^2=g_{00}(r_t)c^2dt^2=-c^2dt^2\\ \implies \sqrt{-g_{00}(r_\tau)}\,d\tau=dt$ Dies deutet darauf hin, dass die Zeit mit einem niedrigeren Gravitationspotential schneller fließt, was falsch ist.

Ich bin mir nicht sicher, warum die obige Methode zu einer falschen Schlussfolgerung geführt hat. Habe ich die Definition von Eigenzeit, Koordinatenzeit oder Raumzeitintervall falsch verstanden?

Aktualisieren:

Ein Fehler, den ich gemacht habe, ist zu lassen $ds^2=g_{00}(r_\tau)c^2d\tau^2$ , was sein sollte $ds^2=-c^2d\tau^2$ per Definition . Ich bin jedoch verwirrt über zwei Definitionen von $ds^2$ Jetzt. $ds^2=-c^2d\tau^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$ , Das deutet darauf hin $g_{00}$ ist immer $-1$ für den Rahmen, der die richtige Zeit misst, aber in meinem Problem $g_{00}$ ist eine Funktion von $r$ was nur gleich ist $-1$ Wenn $r=\infty$ , wie könnten zwei gleichzeitig wahr sein?
Vorausgesetzt $ds^2=-c^2d\tau^2$ ist wahr, wie alle Antworten darauf hingewiesen haben $d\tau=\sqrt{-g_{00}}\,dt$ . Aber nach der Definition von $g_{00}$ Und $ds^2$ Die $g_{00}$ hier verwendet werden muss $-(1+2\Phi(r_t)/c^2)=-1$ , aber ich möchte $g_{00}$ hier zu sein $-(1+2\Phi(r_\tau)/c^2)$ so dass $D τ = \sqrt{- G_{00}} D T = \sqrt{1 + 2 Φ (R_{τ}) / C^{2}} D T \approx (1 + Φ (R_{τ}) / C^{2}) D T ⟹ \frac{D τ - D T}{D T} = \frac{Φ (R_{τ})}{C^{2}} = \frac{Φ (R_{τ}) - Φ (R_{T})}{C^{2}}$ $d\tau=\sqrt{-g_{00}}\,dt=\sqrt{1+2\Phi(r_\tau)/c^2}\,dt\approx (1+\Phi(r_\tau)/c^2)\,dt\\ \implies \frac{d\tau-dt}{dt}=\frac{\Phi(r_\tau)}{c^2}=\frac{\Phi(r_\tau)-\Phi(r_t)}{c^2}$

Bitte korrigiert mich, wenn ich Fehler gemacht habe!

Antworten (3)

Beziehung zwischen Koordinatenzeit und Eigenzeit

Rumpelstillhaut · Answer 1

Jedes Mal, wenn ich versuche, an Zeitdilatation, Längenkontraktion oder irgendein anderes seltsames Phänomen zu denken, das von dieser seltsam schönen Theorie vorhergesagt wird, bin ich verwirrt!! Glücklicherweise haben wir eine Metrik, die uns das ganze Denken abnimmt. In Koordinaten $x^\mu=(ct,x,y,z)$ mit Raumzeit-Signatur $(+1,-1,-1,-1)$ die Metrik ist gegeben durch

C^{2} D τ^{2} = D S^{2} = C^{2} D T^{2} - D {\vec{R}}^{2}

$\begin{equation} c^2d\tau^2 = ds^2 = c^2dt^2 - d\vec{r}^2 \end{equation}$ Wo

d {\vec{r}}^{2} = d x^{2} + d y^{2} + d z^{2}

$d\vec{r}^2=dx^2+dy^2+dz^2$ . Wenn die Koordinaten parametrisiert sind durch

τ

$\tau$ so dass

t = t (τ), x = x (τ), y = y (τ)

$t=t(\tau), x=x(\tau), y=y(\tau)$ Und

z = z (τ)

$z=z(\tau)$ dann können wir die obigen Gleichungen schreiben als

D τ = \sqrt{D T^{2} - D {\vec{R}}^{2}}

$\begin{equation} d\tau = \sqrt{dt^2-d\vec{r}^2} \end{equation}$ was äquivalent ist

D τ = D T \sqrt{1 - v^{2}}

$\begin{equation} d\tau = dt\sqrt{1-v^2} \end{equation}$ wo wir einen Zeitrahmen für die annehmen

c = 1

$c=1$ Und

d \vec{r} / d τ

$d\vec{r}/d\tau$ entspricht der Geschwindigkeit und damit dem Zusammenhang zwischen Koordinatenzeit und Eigenzeit zwischen zwei Ereignissen at

t_{1}

$t_1$ Und

t_{2}

$t_2$ Ist

τ = \int_{T_{1}}^{T_{2}} \sqrt{1 - v^{2}} D T

$\begin{equation} \tau = \int_{t_1}^{t_2}\sqrt{1-v^2}dt \end{equation}$

Um Ihre Frage zu beantworten, ein Raumzeitintervall $ds^2=d\tau^2=-g_{tt}dt^2$ , kann ausgedrückt werden als

D τ = \sqrt{- G_{T T}} D T,

$\begin{equation} d\tau=\sqrt{-g_{tt}}dt, \end{equation}$ per Definition. Ihre Definition des Raumzeitintervalls

d s^{2}

$ds^2$ leicht daneben ist, sollte es lesen

d s^{2} = d τ^{2} = - g_{t t} d t^{2} + . . .

$ds^2=d\tau^2 = -g_{tt}dt^2+...$

Hallo, vielleicht habe ich meine Frage nicht klar genug formuliert, sorry dafür. Ich möchte wissen, warum meine Ableitung der Beziehung zwischen Koordinatenzeit und Eigenzeit aus den Definitionen der Metrik (nicht der Minkowski-Flachmetrik) und des Raumzeitintervalls falsch ist.
Davon gehe ich in Ihrer Antwort aus $g_{tt}=g_{00}$ . Das Problem ist, dass angesichts der Definition von $g_{00}(r)$ , $g_{00}(r_t)=-1$ was nicht der gewünschte Koeffizient ist. Vielleicht könntest du weiter ausbauen, was du meinst $g_{tt}$ mit seinem expliziten Ausdruck. Außerdem bin ich mir nicht sicher, was die Auslassungspunkte am Ende darstellen. Bitte geben Sie eine weitere Erklärung, danke!
Ja, $g_{tt}=g_{00}$ . Ich wechsle zwischen den Notationen, um bei Verstand zu bleiben :) Hmmmm, ich bin jetzt selbst verwirrt. Warum ist $g_{00}(r)=g_{00}(r_t)=-1$ ? In Ihrer Frage geben Sie an $ds^2 = g_{00} d\tau^2 = g_{00}dt^2$ . Das ist falsch. Diese Aussage setzt Eigenzeit und Koordinatenzeit gleich. Das Zeilenelement sollte lauten $D S^{2} = D τ^{2} = G_{00} D T^{2} - D {\vec{R}}^{2}$ $ds^2 = d\tau^2 = g_{00}dt^2 - d\vec{r}^2$ Wo $c=1$ . Folgst du mir?
Ja aber $g_{00}$ ist eine Funktion des Gravitationspotentials ( $g_{00}(r)=-\left(1+\frac{2\Phi(r)}{c^2}\right)$ ), die von der radialen Position abhängt. Also die beiden $g_{00}$ die verwendeten haben unterschiedliche Werte (ich habe das durch die Verwendung von angegeben $g_{00}(r_\tau)$ Und $g_{00}(r_t)$ statt nur $g_{00}$ ). Laut Buch die Koordinatenzeit $dt$ wird gemessen an $r=\infty$ , setze das in die Formel für ein $g_{00}$ wir haben $-1$ .( $g_{00}(r)\neq g_{00}(r_t)=-1$ ) Auch bei dieser Frage impliziert die Annahme, dass zwei relativ zueinander ruhende Uhren $d\mathbf{r}=0$ .
Ja, sicher. siehe Ende meiner Antwort. Du verwechselst Eigenzeit und Koordinatenzeit. die Metrik sollte lauten $d\tau^2=g_{00}dt^2$ . Siehe unten in meiner Antwort.

Benutzer1887919 · Answer 2

Ihr Fehler besteht darin, dass Sie nur die Formel für das Raumzeitintervall verwenden - ich glaube, Sie haben Ihre gerade verwirrt $dt$ 's und $d\tau$ 'S.

Legen Sie die Metriksignatur fest $(-1,1,1,1,)$ . Dann für $dr=d\theta=d\phi = 0$ das Raumzeitintervall kann geschrieben werden,

D S^{2} = - C^{2} D τ^{2} = G_{00} C^{2} D T^{2}

$ds^2 = -c^2 d\tau^2 = g_{00} c^2 dt^2$

und so

D τ = \sqrt{- G_{00}} D T

$d\tau = \sqrt{-g_{00}} dt$

Das ist das ursprüngliche Ergebnis, das Sie zuvor erhalten haben.

Klarstellung wie in den Kommentaren gewünscht:

Seien Sie sich darüber im Klaren, dass die metrische Signatur $(-1,1,1,1)$ entspricht nicht dem Wert der metrischen Komponenten $g_{\mu \nu}$ . Lassen Sie mich explizit sein:

Wenn wir dann die Metrik nehmen, um eine Signatur zu haben $(-1,1,1,1)$ dann können wir die zeitlichen Komponenten der Schwarzchild-Metrik schreiben als:

G_{00} = - (1 - \frac{R_{S}}{R})

$g_{00} = -\left( 1 - \frac{r_s}{r}\right)$

Wo

R_{S} = \frac{2 G M}{C^{2}}

$r_s = \frac{2GM}{c^2}$

Da wir nun GR durch die Newtonsche Gravitation im schwachen Feldregime annähern können, können wir sagen, dass das Potenzial ist:

Φ = - \frac{G M}{R}

$\Phi = - \frac{GM}{r}$

die ersetzt in $g_{00}$ geben,

G_{00} = - (1 + \frac{2 Φ}{C^{2}})

$g_{00} = - \left( 1+ \frac{2 \Phi}{c^2}\right)$

aber dies ist nicht gleich -1 , was lediglich die Signatur der metrischen Komponente ist. Sondern durch den Einsatz $g_{00} = -(1+2\Phi/c^2)$ , haben Sie sich für die Metriksignatur (-1,1,1,1) entschieden.

Könnten Sie einen expliziten Ausdruck für die geben $g_{00}$ hast du oben verwendet? Ist es $-\left(1+\frac{2\Phi(r_\tau)}{c^2}\right)$ oder $-\left(1+\frac{2\Phi(r_t)}{c^2}\right)=-1$ ? Das richtige Ergebnis sollte das erste sein, ich habe jedoch das letztere $ds^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^{\nu}$ .
Ahhhhh, ich sehe, wo du falsch gehst !! Die metrischen Tensorkomponenten sind nicht gleich $(-1,1,1,1)$ . Das ist ihr Zeichen. Der $g_{00}$ ist gleich $1-2\Phi/c^2$
Ich habe die Komponenten des metrischen Tensors nicht als angenommen $(-1,1,1,1)$ , das einzige, was ich verwendet habe, ist $g_{00}=-(1+2\Phi/c^2)$ . Wenn ich benutze $g_{00}=1-2\Phi/c^2$ Dann $-g_{00}$ ist immer negativ (da $\Phi\leq 0$ ), was definitiv falsch ist.
Sie verwechseln nur Ihre Koordinatenzeit und Eigenzeit, das ist alles, was dazu gehört.
Vielleicht verstehe ich es nicht. Ich habe tatsächlich eine Kopie des Buches, auf welche Seite und welchen Abschnitt beziehst du dich?
ich lasse $g_{00}=-1$ nur weil es erstmal darauf ankommt $r$ , zweite für $r=r_t=\infty,\Phi=0$ , dann verwende ich die Definition von $g_{00}$ es sein zu lassen $-1$ aber das gilt nur für $g_{00}(r_t)$ .

Edward · Answer 3

Die Antwort von Rumplestillskin ist richtig

D τ = \sqrt{1 - \frac{R_{G}}{R}} D T

$d\tau = \sqrt{1-\frac{r_g}{r}} dt$ aber es gilt nur für die Uhr, die statisch in der Gravitation im Koordinatenabstand verweilt

r

$r$ aus der Mitte. Bei bewegten Uhren in den Schwarzschild-Koordinaten, beispielsweise im radialen freien Fall, ist das Verhältnis zwischen Eigenzeit und Koordinatenzeit anders

D τ = D T + \sqrt{\frac{R_{G}}{R}} (1 - \frac{R_{G}}{R})

$d\tau=dt+\sqrt{\frac{r_g}{r}}\left(1-\frac{r_g}{r}\right)$

Beziehung zwischen Koordinatenzeit und Eigenzeit

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Benutzer1887919

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Edward

Wie erhalten Sie die Zeitdilatation von g00g00g_{00} im Allgemeinen und von der Schwarzschild-Metrik im Besonderen?

Warum bezeichnet dτdτd\tau statt dtdtdt die Eigenzeit? Ist es eine Definition?

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