Warum bezeichnet dτdτd\tau statt dtdtdt die Eigenzeit? Ist es eine Definition?

Es gibt zwei verschiedene$dt$ist hier. Eins,$dt_{you}$ist das Zeitintervall, das auf Ihrer Uhr gemessen wird, während das andere$dt_{me}$ist das auf meiner Uhr gemessene Zeitintervall.

In deinen Koordinaten, also deinem Ruhesystem, ruhst du im Ursprung und deine Raumzeit sieht lokal wie eine flache Raumzeit aus. Also in deinen Koordinaten$g_{00}=1$und die Zeit, die du auf deiner Uhr misst, ist gleich der Eigenzeit:

$$d\tau = dt_{you} \tag{1}$$

In meinen Koordinaten bist du stationär (wir sind uns beide einig, dass du stationär bist), aber in meinen Koordinaten ist die Raumzeit um dich herum so gekrümmt$g_{00}$ist keiner mehr. Dann muss ich schreiben:

$$d\tau^2 = g_{00} dt_{me}^2 \tag{2}$$

Aber die Eigenzeit ist eine Invariante, dh sowohl Sie als auch ich müssen uns auf ihren Wert einigen, also die$d\tau$in den Gleichungen (1) und (2) müssen den gleichen Wert haben. Das heißt, wir können die beiden Gleichungen gleichsetzen und erhalten:

$$dt_{you} = dt_{me} \sqrt{g_{00}}$$

Und so erhalten wir die relative Zeitdilatation zwischen uns, dh sie bezieht von Ihnen gemessene Zeitintervalle auf das gleiche von mir gemessene Zeitintervall. Ich vermute, die Verwirrung ist entstanden, weil in Ihrem Ruhesystem die von Ihnen gemessenen Zeitintervalle gleich der Eigenzeit sind.

In GR werden Kurven durch einen Parameter beschrieben$\tau$:$x^{\mu}(\tau)$die einen Pfad in der realen Welt nachzeichnet, der allgemeiner als Weltlinie bezeichnet wird.
Aber jeder Parameter reicht aus, um diese Kurve zu beschreiben, man kann nämlich einen anderen Parameter verwenden$\lambda$was mit dem ersten in Verbindung gebracht werden kann$\lambda(\tau)$.
Was wir Eigenzeit nennen$\tau$ist der Parameter für die Wortleitung, so dass$u^2 = u^\mu u_\mu = c^2$für eine zeitähnliche Geodäte (massives Teilchen). Wobei die 4-Geschwindigkeit definiert ist als$u^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau}$.
In Ihrem Beispiel hätten wir also$ds^2 = g_{00} c^2 dt^2$was bedeutet, dass

$$\begin{equation} u^2 = g_{00} u^0 u^0 = g_{00} \left( \frac{cdt}{d\tau} \right)^2 = c^2 \end{equation}$$ Nur wenn
$$\begin{align} g_{00} \left( \frac{dt}{d\tau} \right)^2 &= 1 \\ \Rightarrow \frac{d\tau}{dt} &= \sqrt{g_{00}} \\ \Rightarrow d\tau &= \sqrt{g_{00}}dt \end{align}$$