Wie erfahren wir für eine gegebene Metrik in GR, auf welchen Beobachter sich die Metrik bezieht?

Question

Wie erfahren wir für eine gegebene Metrik in GR, auf welchen Beobachter sich die Metrik bezieht?

Zugisqua

Zum Beispiel wurde mir gesagt, dass der Schwarzschild-Beobachter weit entfernt von schwarzen Löchern und Ereignissen ist (nämlich, ich denke, der Beobachter ist im Unendlichen der Koordinate statisch.)

Und beim zweiten Beispiel, den Gullstrand-Painlevé-Koordinaten, ist ihr Beobachter ein mitbewegter Beobachter eines freifallenden massiven Teilchens aus der Unendlichkeit.

(Vielleicht ist das tatsächlich ein Beispiel, weil wir die Transformation von der Schwarzchild-Metrik in die Gullstrand-Painlevé-Metrik verwenden könnten, um zu erfahren, wie es in Gullstrand-Painlevé-Koordinaten abläuft. Und das mag stimmen, aber das ist nicht die Antwort, die ich mir wünsche .)

Ich habe keine Ahnung davon für eine gebende Metrik, wie man berechnet, wo sich ihre Beobachter befinden?

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Wie erfahren wir für eine gegebene Metrik in GR, auf welchen Beobachter sich die Metrik bezieht?

John Rennie · Answer 1

Eine Metrik muss sich überhaupt nicht auf einen Beobachter beziehen.

Wenn wir über den Schwarzschild-Beobachter sprechen, meinen wir den Beobachter, für den die Variablen in der Metrik eine einfache Bedeutung haben – typischerweise, dass sie die gleiche Bedeutung wie in der flachen Raumzeit haben. Wenn Sie also die Schwarzschild-Metrik vergleichen:

D S^{2} = - (1 - \frac{R_{S}}{R}) D T^{2} + \frac{D R^{2}}{1 - \frac{R_{S}}{R}} + R^{2} D θ^{2} + R^{2} {Sünde}^{2} θ D ϕ^{2}

$ds^2 = -\left(1-\frac{r_s}{r}\right)dt^2 + \frac{dr^2}{1-\frac{r_s}{r}}+r^2d\theta^2 + r^2\sin^2\theta d\phi^2$

mit der flachen Raummetrik:

D S^{2} = - D T^{2} + D R^{2} + R^{2} D θ^{2} + R^{2} {Sünde}^{2} θ D ϕ^{2}

$ds^2 = -dt^2 + dr^2+r^2d\theta^2 + r^2\sin^2\theta d\phi^2$

dann passen sie offensichtlich wann zusammen $r_s/r \rightarrow 0$ ich esse $r \rightarrow \infty$ .

Die GP-Metrik verwendet das Schwarzschild $r$ , $\theta$ Und $\phi$ , aber die Zeitkoordinate ist die Zeit, die von einem Beobachter gemessen wird, der frei aus dem Unendlichen fällt:

D S^{2} = - (1 - \frac{2 M}{R}) D T_{R}^{2} + 2 \sqrt{\frac{2 M}{R}} D T_{R} D R + D R^{2} + D Ω^{2}

$ds^2=-\left(1-\frac{2M}{r}\right)dt_r^2+2\sqrt\frac{2M}{r}dt_rdr+dr^2 + d\Omega^2$

Es gibt also keinen Beobachter, der die metrischen Variablen direkt beobachtet, obwohl da noch einmal, wenn wir die nehmen $r \rightarrow \infty$ Grenze es die flache Raummetrik wird, könnten Sie argumentieren, dass der GP-Beobachter im Unendlichen ist.

Nehmen Sie jedoch die Kruskal-Szekeres-Metrik, die die etwas abstrakten Koordinaten verwendet $u$ Und $v$ . Obwohl $u$ ist raumartig und $v$ Zeitlich ist, gibt es keinen Beobachter von wem $du$ entspricht dem, was sie mit einem Lineal messen würden oder $dv$ was sie mit einer Uhr messen würden.

Es ist ein wichtiges Prinzip von GR, dass wir jedes Koordinatensystem verwenden können, sodass wir Koordinaten auswählen können, die unsere Berechnungen vereinfachen, und wir müssen uns keine Gedanken darüber machen, ob sie physikalischen Messungen entsprechen, die ein Beobachter machen könnte.

Diese Antwort geht um den heißen Brei herum und verschleiert die Probleme. Ich finde den zweiten Absatz nicht richtig. Wir könnten viele verschiedene Koordinatensysteme haben, die asymptotisch mit Kugelkoordinaten im flachen Raum übereinstimmen würden. Meiner Meinung nach könnte dies einfach verbessert werden, indem der gesamte mittlere Teil herausgeschnitten und nur der erste und der letzte Absatz belassen würden.

Colin MacLaurin · Answer 2

Es gibt im Allgemeinen keinen entsprechenden Beobachter. Im Zusammenhang mit beschleunigten Beobachtern oder gekrümmter Raumzeit sollten wir nur an lokale Beobachter im Allgemeinen denken, also stellen Sie sich einen ganzen Schwarm von ihnen vor, der die Raumzeit füllt. Trotzdem gibt es im Allgemeinen keine entsprechenden Beobachter ( Plural). Koordinaten sind willkürlich und müssen keine "einfache metrische Bedeutung" haben, wie Einstein schon früh erkannte, also nicht (direkt) die Messung von Beobachtern.

Davon abgesehen können wir im Einzelfall streiten. Beispielsweise gehen Landau & Lifshitz bei der Herleitung ihrer „Radarmetrik“ zur Messung räumlicher Distanzen von Beobachtern aus, die sich mit einem gegebenen Koordinatensystem mitbewegen , also konstant $x^1$ , $x^2$ , Und $x^3$ -Koordinaten, wenn dies erlaubt ist. Für Ihr Beispiel von Gullstrand-Painleve-Koordinaten sind sie in der Tat gut geeignet für Beobachter, die sozusagen "aus der Ruhe im Unendlichen" frei fallen, weil diese Beobachter mitkommen $\theta$ Und $\phi$ , die Zeitkoordinate ist ihre Eigenzeit, und die $r$ -Koordinate ist der in radialer Richtung gemessene räumliche Abstand. (Mein letzter Punkt ist der am wenigsten bekannte, aber siehe Taylor & Wheeler's Exploring Black Holes .)

Wie erfahren wir für eine gegebene Metrik in GR, auf welchen Beobachter sich die Metrik bezieht?

Zugisqua

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John Rennie

Benutzer4552

Colin MacLaurin

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