Schwarzschild-Geometrie, was ist die physikalische Bedeutung von Koordinaten?

Nun, da die Metrik asymptotisch flach ist, in$\infty$,$t$Und$\tau$tatsächlich zusammenfallen, sodass Sie die Zeitkoordinate anzeigen können$t$als die von einem Trägheitsbeobachter im Unendlichen gemessene Zeit.

Die Radialkoordinate$r$ist eigentlich eher eine "flächenhafte" Koordinate. Betrachten Sie 2-Oberflächen von Konstantat$t=T_0$Und$r=R_0$. Dann sind die induzierten Metriken auf den 2-Flächen nur die sphärischen Metriken

$$ds^2=R_0^2(d\vartheta^2+\sin^2\vartheta d\varphi^2),$$ was impliziert, dass die Fläche der 2-Flächen sind $$\text{Area}(t=T_0,r=R_0)=\iint R_0^2\sin\vartheta\ d\vartheta d\varphi=2\pi R_0^2\cdot[-\cos\vartheta]_{0}^{\pi}=4\pi R_0^2,$$ das ist natürlich die Oberfläche von 2 Kugeln im euklidischen Raum.

Daher können wir sagen, dass die$r$Koordinate bezeichnet die Punkte, die von ursprungszentrischen Kugeln besetzt sind, deren Oberflächenbereiche sind$4\pi r$.

Denn der Teil der Metrik, der die Winkelkoordinaten enthält$\vartheta$Und$\varphi$ist dasselbe wie die sphärische Metrik im euklidischen Raum, die Winkelkoordinaten haben die übliche Bedeutung.

$t$Und$\phi$sind angepasste Koordinaten an die Generatoren der eindimensionalen Translationssymmetrie in der Zeit und der Rotationssymmetrie in$\phi$. Noethers Theorem, in dieser speziellen Einstellung der Killing-Gleichung, diktiert, dass konservierte Ströme mit diesen Symmetrien zusammenhängen. Die zugehörigen Ladungen sind die Komar-Masse und der Komar-Drehimpuls. Die erste ist die kanonische Masse der Schwarzschild-Metrik und die letztere ist Null. Also eine "physikalische" Bedeutung von$t$Und$\phi$sind diese beiden Erhaltungsgrößen.

Die typische Koordinatenwahl von$r$Und$\theta$hat zur Folge, dass$g_{\phi\phi}=\sin^2(\theta)g_{\theta\theta}$Und$g_{\theta\theta}=r^2$was den Winkelteil der Metrik zur kanonischen Metrik einer Kugel macht und$r$ist der Flächenradius. Darauf hat @Uldreth hingewiesen.

In gewisser Weise ist die typische Koordinatenwahl also eng mit den Raumzeitsymmetrien verknüpft und die Metrik ist relativ einfach. Allerdings sind je nach Anwendung andere Koordinatenwahlen (isotrop, Gullstrand-Painlevé-Koordinaten) besser geeignet.

Eine eindeutige Antwort ist schwierig, weil ich persönlich diese Frage eher vage finde, weil "physikalische Bedeutung" meiner Meinung nach ein ziemlicher Fachbegriff ist und am Ende alle Physik unabhängig von der Koordinatenwahl sein muss.

Der physische Abstand zwischen den beiden radialen Koordinaten$r_1$Und$r_2$ist nicht$r_2-r_1$, Aber

$$\Delta R=\int_{\text{r1}}^{\text{r2}} \frac{{\rm d}r}{\sqrt{1-\frac{r_s}{r}}}$$

(was größer ist als$r_2-r_1$). Trotzdem ist der physische Umfang einer Hülle um das Schwarze Loch immer noch vorhanden$2 \pi r$, also überspannen sich die Winkel immer noch$2\pi$Radiant für einen ganzen Kreis in einer kugelsymmetrischen Situation, also

1) Der radiale Abstand$r$ist längenkontrahiert,

2) Die Winkel$\phi$Und$\theta$haben die gleiche Bedeutung wie in Standard-Kugelkoordinaten,

3) Die Zeitkoordinate$t$ist die eines stationären Beobachters weit entfernt vom Schwarzen Loch, dessen Uhren am schnellsten laufen.