Kruskal-Lösung für Schwarzes Loch

Um die Singularität am Horizont zu entfernen, bewegen wir uns vom Schwarzchild- zum Eddington-Finkelstein-Koordinatensystem. Unsere eingehenden Null-Geodäten werden dann zu geraden Linien. Dann bewegen wir uns zur Kruskal-Lösung, bei der sowohl die eingehende als auch die ausgehende Null-Geodäte gerade Linien sind. Gibt es ein Problem im EF-Koordinatensystem? Denn während wir eine Transformation durchführen, definieren wir fortgeschrittene und verzögerte Zeitparameter, die unsere Raumzeitgeometrie sehr gut erklären. Warum bewegen wir uns zu den Kruskal-Koordinaten?

In Bezug auf welchen Beobachter sind Kruskal-Koordinaten definiert? Ist es der Beobachter, der radial in das Schwarze Loch einfällt, oder ist es ein Beobachter, der weit vom Schwarzen Loch entfernt ist?

In Bezug auf welchen Beobachter sind die Koordinaten definiert, wenn eine Metrik in einem bestimmten Koordinatensystem beschrieben wird?

Antworten (1)

Die Schwarzschild-Metrik ist eine Lösung der Einstein-Gleichungen, gegeben durch

D S 2 = − F ( R ) D T 2 + D R 2 F ( R ) + R 2 D Ω 2
Wo F ( R ) = ( 1 − 2 M R ) . Hier ist M ein Parameter, der die Masse eines Sterns oder eines Schwarzen Lochs sein könnte. Die obige Metrik beschreibt die leere Region außerhalb einer sphärischen Quelle und ist nicht auf eine Region anwendbar, die von einer Quelle (wie einem Stern oder einem Schwarzen Loch) besetzt ist.

Wenn der Radius der Quelle kleiner ist als 2 M dann haben wir ein Problem. Diese Metrik sollte in der Nähe der Region gültig sein R = 2 M aber wir treffen eine Singularität als F ( 2 M ) = 0 .

Zum Glück ist diese Singularität nur eine Koordinaten-Singularität, in dem Sinne, dass sie durch unsere schlechte Wahl der Koordinaten entsteht. (Im Gegensatz zur Singularität bei R = 0 ). Um diese fiktive Singularität zu entfernen, gehen wir also zu den Eddington-Finkelstein-Koordinaten, die Sie erwähnt haben.

Es gibt kein besonderes Problem mit diesen Koordinaten, und sie erfüllen den Zweck, für den sie erfunden wurden. Aber diese Koordinaten sind in gewissem Sinne unvollständig und können auf die Kruskal-Szekeres- Koordinaten erweitert werden. Dieser Vorgang wird Erweiterung der Metrik genannt, und in diesem Fall ist die neue Metrik eine maximale Erweiterung , dh man kann diese Metrik nicht weiter erweitern.

Dies ist dem Fall der Erweiterung der Rinder-Koordinaten auf die üblichen Minkowski-Trägheitskoordinaten sehr ähnlich. Die Rindlerkoordinaten beschreiben einen beschleunigenden Beobachter, und die Metrik hat eine fiktive Singularität. Wenn wir von Rindler- in Trägheitskoordinaten umwandeln, ist eine wichtige Beobachtung, dass sich die Raumzeit „verdoppelt“ hat. Die Rindler-Koordinaten deckten nur den rechten Keil und den zukünftigen Keil der Minkowski-Raumzeit ab. Daher sind die Rindler-Koordinaten unvollständig, um die vollständige Struktur der flachen Raumzeit zu beschreiben, und man muss die Koordinaten erweitern.

Dies erklärt Ihre Frage, warum wir die Kruskal-Koordinaten verwenden: Sie sind die maximale Erweiterung der Schwarzschild-Koordinaten.

Rindler- und Kruskal-Koordinaten werden sehr gut in Wald, Kapitel 6 erklärt. Die allgemeinen Eigenschaften maximaler Ausdehnungen werden in Padmanabhan, Kapitel 8, behandelt.
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