Entfernen Sie lokal ein Gravitationsfeld

Im Zusammenhang mit GR und dem Äquivalenzprinzip bei gegebener Lorentz-Mannigfaltigkeit $(M,g)$, scheinen die folgenden Kommentare relevant:

1. Wenn der (Levi-Civita) Riemann-Krümmungstensor nicht in einem Punkt verschwindet$p\in M$, dann gibt es keine Nachbarschaft$U \subseteq M$von$p$(und ein Koordinatensystem, das auf definiert ist$U$) so dass die Metrik$g_{\mu\nu}$wird auf Minkowski-Form in$U$. Siehe auch meine Phys.SE-Antwort hier .

2. Lokal existieren Fermi-Normalkoordinaten entlang einer röhrenförmigen Nachbarschaft einer Geodäte.

Ich nehme an, Sie fragen nach lokalen Trägheitsrahmen ?

Kapitel 2.4 :

Postulat (2) der Allgemeinen Relativitätstheorie impliziert, dass es an jedem Punkt der Raumzeit möglich ist, lokale Trägheitskoordinaten zu wählen:$\xi^m$

Angenommen, Sie haben Koordinaten$x^\mu$und Sie möchten in Trägheitskoordinaten transformieren$\xi^m$die sich in einem lokalen Inertialsystem befinden $ds^2=\eta_{m n}\xi^m \xi^n$

Die Koordinaten sind differenzierbar verwandt:

$d\xi^m=\frac{d\xi^m}{dx^\mu}dx^\mu$

Daher müssen Sie nur Koordinaten finden, die Folgendes erfüllen:

$g_{\mu \nu} =\eta_{m n} \frac{d\xi^m}{dx^\mu} \frac{d\xi^n}{dx^\nu}$

Hinweis: letzte Gleichung kommt von$ds^2$= (in jedem Frame gleich)