Krümmung im Minkowski-Raum? [geschlossen]

Denke in letzter Zeit darüber nach, wie das Äquivalenzprinzip GR ausgemacht hat und wie ich es möglichst elementar in meinem Kopf darstellen kann.

Die Idee, die Einstein damals hatte, war also, dass wir bei einem Trägheitsrahmen, der mit einem frei fallenden Testteilchen (das Testteilchen erfährt keinerlei Anziehungskraft) in einem homogenen Gravitationsfeld verbunden ist, einen Basiswechsel zu einem nicht-inertialen durchführen können so dass das Teilchen eine Anziehungskraft erfährt, aber die Sache ist die, dass dieses Testteilchen in einem Minkowski-Raum lebt, in dem die Krümmung null ist, weil das im Nicht-Trägheitsrahmen beschriebene Teilchen sein Gewicht nicht spürt. Außerdem existieren die Christoffel-Symbole zwar in einem Minkowski-Raum, aber die Krümmung ist Null, folglich ist das Gravitationsfeld fiktiv.

Also kommen wir zum letzten Teil, was ich verstanden habe und was Sie mir bestätigen müssen, ist, dass wir, wenn wir ein echtes Gravitationsfeld aktivieren, zu einem Riemannschen Raum übergehen und das Äquivalenzprinzip anwenden, wo die Raumzeit lokal wie der Minkowski-Raum ist .

Bearbeitet: Das Hauptziel hier ist zu sehen, ob das Gesagte richtig ist, daher werde ich versuchen, klarer und formaler zu sein.

Nehmen wir an, ein Testteilchen lebt in einem Minkowski-Raum ( M 4 , η ) wo die Krümmung R ρ λ μ v = 0 aber die Verbindung ist nicht unbedingt Γ = 0 , Mit anderen Worten, dieses Testteilchen befindet sich in einem homogenen Gravitationsfeld (HGF). wir ordnen diesem Teilchen ein Inertialsystem zu ( e 0 , e 1 , e 2 , e 3 ) letzteres gibt uns die Bewegungsgleichung

D 2 X μ D T 2 = 0
Wenn wir zu einem anderen Nicht-Inertialsystem übergehen ( e ' 0 , e ' 1 , e ' 2 , e ' 3 ) wir bekommen
D X ' μ D T + Γ ~   v λ μ D X ' v D T D X ' λ D T = 0
Wo Γ ~   v λ μ sind die Christoffel-Symbole, was wir sehen können, ist, dass wir in einem Minkowski-Raum die Basis ändern können und feststellen, dass eine Verbindung erscheint, die bedeutet, dass die Schwerkraft vorhanden ist (aber tatsächlich ist es eine fiktive), die dieser nicht-inertiale Rahmen beschreibt Bewegung eines frei fallenden Teilchens.

Was wir also sehen können, ist, dass wir beim Ändern der Koordinaten im Minkowski-Raum feststellen, dass eine Verbindung erscheint, aber eine Krümmung immer noch Null ist. Das bedeutet, dass wir, wenn wir wirklich die Gravitation aktivieren wollen, dh zur allgemeinen Relativitätstheorie übergehen wollen, zu einer pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeit übergehen müssen ( M , G ) mit einem von Null verschiedenen Riemann-Krümmungstensor.

Ich bin mir nicht sicher, was Sie hier eigentlich fragen. Insbesondere weiß ich nicht, was Sie damit meinen, dass die Krümmung null ist, weil das beschriebene Teilchen[...] sein Gewicht nicht spürt , und ich verstehe auch nicht wirklich den letzten Absatz (obwohl GR die Raumzeit als eine Lorentzsch , nicht Riemannsch, Mannigfaltigkeit).
Der Punkt von GR ist, dass die Raumzeit nicht MInkowski sein muss, sondern nur ihre hat + − − − (oder − + + + , abhängig von Ihrer Konvention) Signatur. Die allgemeineren Optionen haben eine Krümmung, die uns Schwerkraft verleiht.
Ich stimme für das Schließen, weil dies keine Frage zu sein scheint.
@PaulT. es ist hauptsächlich eine Beobachtung, und die Frage ist: Sagen Sie mir, ob es richtig oder falsch ist, all das zu denken. Ich habe es im letzten Absatz gesagt
@JG oh ja, aber in meinem Beitrag geht es nicht wirklich um die allgemeine Relativitätstheorie, sondern um die Erfahrung von Einstein und dem Minkowski-Raum mit einem fiktiven Gravitationsfeld, das durch die Christoffel-Symbole und eine Krümmung ausgedrückt wird R = 0 wenn wir zu einem Nichtträgheitsrahmen übergehen.
@intelligibleno In diesem Fall kann die folgende Beobachtung hilfreich sein: Während der Ricci-Skalar R kann sein 0 für einige gekrümmte Raumzeiten der Riemann-Tensor R μ v ρ σ hat alle Komponenten 0 entweder in allen oder in keinem Koordinatensystem. Zum Beispiel hat die Schwarzschild-Metrik R = 0 aber nicht verschwindender Riemann-Tensor.
@JG danke für diese Beobachtung, die mir schon in einem Vortrag begegnet ist. Ach bis R = 0 Ich meine nicht den Ricci-Skalar, sondern den Riemann.
@intelligibleno Dann funktioniert dein Vorschlag nicht: Wenn der Riemann-Tensor verschwinden würde, würden wir keine Beweise dafür beobachten, dass er ungleich Null ist, wie z. B. eine Schwarzschild-ähnliche Gravitation.
@JG Ich kann argumentieren, dass wir bei Betrachtung des Minkowski-Raums und der Bewegungsgleichung in einem Nicht-Trägheitsrahmen, wie oben zitiert, klar erkennen können, dass ein Nicht-Trägheitsrahmen zu einem fiktiven Gravitationsfeld führt, durch das wir darstellen können Γ .
@intelligibleno Ich vermute, Sie verschmelzen "Ich kann dies in einem lokalen Patch mit einer geeigneten Patch-spezifischen Koordinatentransformation in das umwandeln" mit "Ich kann dies mit dem Ergebnis einer Koordinatentransformation global in das umwandeln".
Lassen Sie mich eine Änderung Ihres vorletzten Absatzes vorschlagen (der direkt vor „Ist meine Argumentation gut?“), und Sie sagen mir, ob Sie mit meiner Änderung einverstanden sind. Meine Änderungen sind fett gedruckt. „Was wir also sehen können, ist, dass wir, wenn wir die Koordinaten in der Minkowski-Raumzeit ändern, feststellen, dass eine Verbindung erscheint, aber eine Krümmung immer noch Null ist. Das bedeutet, dass wir, wenn wir wirklich die Schwerkraft aktivieren wollen, dh zur allgemeinen Relativitätstheorie übergehen wollen, zu einer Mannigfaltigkeit übergehen müssen ( M , G ) mit einem Riemann-Krümmungstensor ungleich Null ."
@Andrew ja, warum nicht, es ist so ziemlich die gleiche Idee, aber ein bisschen klarer.
Nun ... es ist nicht dasselbe. "Rahmen" vs. "Koordinate" ist im Grunde eine Präferenz. Aber eine "Lorentz-Mannigfaltigkeit" ist eine, bei der die Metrik Eigenwerte hat − 1 , 1 , 1 , 1 (oder 1 , − 1 , − 1 , − 1 wenn Sie die falschen Konventionen verwenden :)), und insbesondere Raumzeiten mit einer Riemann-Krümmung ungleich Null sind immer noch Lorentz-Mannigfaltigkeiten. Auch eine "Riemannsche Mannigfaltigkeit" hat eine Metrik mit Eigenwerten + 1 , + 1 , + 1 , + 1 , also ist keine Raumzeit eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, nicht einmal der Minkowski-Raum. Ich stimme Ihrer Aussage zu, wenn Sie etwas meinen, was meiner Bearbeitung entspricht, aber ich denke, die Kommentare, die Sie erhalten haben, waren auf eine ungenaue Verwendung der Sprache zurückzuführen.
@Andrew Oh ja, ich sollte einen Pseudo-Riemannschen Verteiler anstelle von "Riemannschen Verteiler" verwenden, Sie haben völlig recht, und für den Lorentzschen Verteiler haben Sie einen guten Punkt. Ich habe einen Lorentzschen Verteiler mit dem Minkowski-Raum verwechselt, danke dafür.

Antworten (1)

Mir scheint, dass Sie mit Ihren Überlegungen größtenteils richtig liegen. Es sieht jedoch so aus, als würden Sie die Schwerkraft (zumindest teilweise) mit nicht verschwindenden Christoffel-Symbolen in Verbindung bringen, was einen Kommentar wert sein könnte.

Die Schwerkraft ist mit der Krümmung der Raumzeit verbunden, und da die Raumzeit entsprechend ihrem Energieinhalt gekrümmt ist, sagen wir manchmal, dass es in der leeren (dh Minkowski-) Raumzeit keine Schwerkraft gibt.

Nun wird ein Großteil des mathematischen Rahmens der Differentialgeometrie normalerweise mit der allgemeinen Relativitätstheorie (und nicht mit der speziellen Relativitätstheorie) in Verbindung gebracht. Dinge wie Christoffel-Symbole, geodätische Gleichungen und kovariante Ableitungen sind jedoch eigentlich nicht spezifisch für GR, sie können auch in SR auftreten. Das Neue in GR ist der nicht verschwindende Krümmungstensor (der in SR immer Null ist).

Der Grund, warum Menschen Dinge wie Christoffel-Symbole oder kovariante Ableitungen normalerweise nur lernen, wenn sie GR studieren, liegt darin, dass Sie alle SR in Trägheitskoordinaten durchführen können, wo die Verbindungskoeffizienten verschwinden und die kovarianten Ableitungen die üblichen partiellen Ableitungen sind. Aber wenn Sie SR in beliebigen Koordinatensystemen untersuchen würden, würden Sie auf alle diese Objekte (außer dem Krümmungstensor) stoßen, während Sie noch SR machen.

Zusammenfassend ist der Punkt, dass dieses Material normalerweise wie folgt ist: spezielle Relativitätstheorie in Trägheitskoordinaten (in der man niemals auf die Christoffel-Symbole oder kovariante Ableitungen trifft) dann allgemeine Relativitätstheorie (wo man auf die Christoffel-Symbole, kovariante Ableitungen trifft, Krümmungstensor usw.). Diese Art des Lehrens könnte einen denken lassen, dass alle diese Objekte spezifisch für GR sind (und sie daher mit der Schwerkraft assoziieren).

Man kann diesen Stoff aber auch wie folgt lernen: spezielle Relativitätstheorie in Trägheitskoordinaten, dann spezielle Relativitätstheorie in beliebigen Koordinaten (wo man auf Dinge wie Christoffel-Symbole und kovariante Ableitungen trifft), dann allgemeine Relativitätstheorie (wo der Krümmungstensor auftaucht). Dies macht deutlicher, dass nur der Krümmungstensor für GR spezifisch ist, nicht die Christoffel-Symbole und kovarianten Ableitungen.

Eine gute Sache, dies zu sehen, ist das Aufschreiben einer flachen Minkowski-Metrik in zB Kugelkoordinaten. Man kann dann leicht nicht verschwindende Christoffel-Symbole berechnen. Der Krümmungstensor verschwindet jedoch. Die Christoffel-Symbole enthalten Informationen sowohl zur Krümmung als auch zu krummlinigen Koordinaten. Ihre Kombination zum Krümmungstensor isoliert ersteren.
Ich schließe mich Ihrem Standpunkt voll und ganz an und möchte eine Bemerkung machen: Ich habe die Christoffel-Symbole ein fiktives Gravitationsfeld genannt, weil wir uns in einem nicht-trägen Bezugssystem befinden und die Bewegung in der Newtonschen Mechanik durch eine fiktive Kraft beschrieben wird.
Ja, mir ist irgendwie aufgefallen, dass du das gesagt hast. Ich versuchte jedoch zu vermeiden, die Christoffel-Symbole als fiktives Gravitationsfeld zu bezeichnen, weil ich nicht sicher bin, ob dies der Standardterminologie entspricht.
Krümmung im Minkowski-Raum? [geschlossen]
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v