Bedeutung des Kretschmann-Skalars für flache Räume?

Wenn Sie eine Raumzeit erhalten, in die ein bestimmter metrischer Tensor eingebettet ist, der die Vakuumfeldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie erfüllt, wie bestätigen Sie dann, dass Sie es nicht einfach mit einer Minkowski-Raumzeit zu tun haben, die durch eine exotische Koordinatentransformation geändert wurde?

Oder genauer gesagt, wenn ich eine exakte Lösung für die Vakuumfeldgleichungen habe, die einen Kretschmann-Skalarwert von hat 0 . Ist das nur die Minkowski-Raumzeit in einem anderen Koordinatensystem?

Nicht unbedingt. Nehmen Sie eine beliebige Teilmenge des Minkowski-Raums oder Quotienten des Minkowski-Raums als Gegenbeispiele.
Danke @Slereah. Können Sie sich ein Beispiel in harter Sprache vorstellen? Beispielsweise erfüllt das folgende Linienelement die Feldgleichungen ( D S ) 2 = . . . und hat einen K-Skalar von 0 ist aber nicht äquivalent zum Minkowski-Raum. Ich bin Angewandter Mathematiker und habe GR vollständig über Tensorberechnung studiert und Diff Geom vermieden, was in diesen Situationen oft mein Untergang sein kann.

Antworten (1)

Ein Kretschmann-Skalar von Null bedeutet nicht, dass der Riemann-Tensor Null ist. Zum Beispiel in der Kerr-Metrik das Vorzeichen von K kann sich ändern, wenn wir uns dem Schwarzen Loch nähern, und das bedeutet, dass es zwangsläufig durch Null geht. Einzelheiten hierzu finden Sie in diesem Artikel zum Arxiv .

Es gibt einige verwandte Diskussionen in Interpreting the Kretschmann skalar .

In meinem speziellen Fall habe ich einen Null-Riemann-Tensor, einen Null-Kretschmann-Skalar und auch einen metrischen Tensor, der die Vakuumfeldgleichungen identisch erfüllt.
@Rumplestillskin Wenn der Riemann-Tensor Null ist, ist die Raumzeit Minkowski
Würden Sie den Riemann-Tensor also unter anderem als ein Gerät beschreiben, um festzustellen, ob Sie möglicherweise einfach den Minkowski-Raum beschreiben, der möglicherweise nur in exotischen Koordinaten ausgedrückt wird?
@Rumplestillskin ja, die Berechnung des Riemann-Tensors ist die einzige sichere Anleitung. Unabhängig von Ihrem Koordinatensystem wird der Riemann-Tensor für die Minkowski-Raumzeit immer Null sein.
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