Ich habe viel zum Thema Allgemeine Relativitätstheorie und der Geometrie dahinter gesehen und gelesen. Ich bin zuversichtlich, dass ich nur mit dem metrischen Tensor eine Annäherung an den Spannungs-Energie-Impuls-Tensor ableiten kann, aber wenn mir der Spannungs-Energie-Impuls-Tensor gegeben würde, bin ich mir nicht sicher, wie ich zurückgehen würde, um die Metrik zu finden . Wie kann ich Einsteins Feldgleichungen verwenden , um den metrischen Tensor zu finden? Müsste ich die ganze Notation erweitern? Oder gibt es eine Gleichung, die ich in meinen Computer stecken kann, um sie zu bekommen? Oder gibt es einen anderen Weg?
Wie Sie beschrieben haben, haben Sie, wenn Sie eine Metrik haben, auch die Mannigfaltigkeit selbst und alle Punkte darin und können die Metrik verwenden, um den Einstein-Tensor an jedem Punkt zu berechnen, und dann mit einer Skalarkonstanten multiplizieren, um die Spannung zu erhalten. Energietensor (unter der Annahme, dass keine kosmologische Konstante vorhanden ist).
Aber die umgekehrte Richtung ist ganz anders. Wenn Sie beispielsweise mit der Mannigfaltigkeit begonnen haben (aber niemand hat Ihnen die Metrik gegeben, nur den topologischen Raum) und dann an jedem Punkt Ihrer Mannigfaltigkeit einen Spannungs-Energie-Tensor definiert haben, haben Sie bereits eine Menge, seit Sie die Mannigfaltigkeit haben . Dies könnte also zu viele Informationen sein und als Betrug angesehen werden. Ich bin mir auch nicht sicher, ob es genug Informationen sind. Der Spannungs-Energie-Tensor ist der Quellterm, es ist wie im Elektromagnetismus, wenn dir jemand die Ladung und den Strom gibt, das reicht eigentlich nicht, um die Felder zu finden, du brauchst auch Randbedingungen.
Schauen wir uns ein einfaches, aber schwieriges Beispiel an. Ihr Verteiler ist , Ihr Stress-Energie-Tensor ist . Es gibt viele mögliche Metriken. Sie könnten eine Metrik haben, die einer Gravitationswelle entspricht, die sich nach links bewegt, eine nach rechts, eine nach oben, eine nach unten, eine vorwärts, eine rückwärts. Oder einfach nur ein leerer flacher Raum, die Raumzeit der speziellen Relativitätstheorie. Dies ist ganz wie die Situation ohne Ladung und ohne Strom, Sie könnten keine Felder oder eine elektromagnetische Welle haben, die in jede Richtung geht. Es sind einfach nicht genug Informationen.
Die Mannigfaltigkeit zu haben, könnte also "betrügen", weil es "zu viele" Informationen enthält, aber selbst die Mannigfaltigkeit und der Stress-Energie-Tensor sind möglicherweise nicht genügend Informationen, um eine eindeutige Lösung zu erhalten.
Wenn Sie fragen, wie die Leute es lösen. Menschen suchen nach Lösungen und finden viele (obwohl es ziemlich schwierig ist). Und sie suchen nach Lösungen, die Versuchsaufbauten und Beobachtungen adäquat beschreiben.
Und ja, numerische Lösungen sind ein möglicher Weg. Abhängig von Ihrem Setup kann es immer noch viele oder keine Lösungen geben, selbst wenn dies numerisch erfolgt. Und die Berechnungen sind sehr, sehr schwer gut oder gar gut zu machen.
Timäus