Lösungen der Einstein-Feldgleichungen mit Tμν=0Tμν=0T_{\mu \nu} = 0

Question

Lösungen der Einstein-Feldgleichungen mit Tμν=0Tμν=0T_{\mu \nu} = 0

mihirb

Mein Niveau/Hintergrund:

Ich habe gerade mein erstes Studienjahr abgeschlossen. In der High School habe ich AP Physik C Mechanik und Elektrizität und Magnetismus abgeschlossen. In meinem ersten Studienjahr absolvierte ich einen Kurs über Newtonsche Mechanik und einen Kurs über spezielle Relativitätstheorie und Elektromagnetismus, die beide ungefähr den Abschnitten zu diesen Themen in den Feynman Lectures on Physics folgten.

Die Frage

Ich fange an, in meiner Freizeit in die Tensoranalyse und die allgemeine Relativitätstheorie einzutauchen, und ich bin etwas verwirrt über die Einstein-Feldgleichung.

Die Einstein-Feldgleichung (ohne kosmologische Konstante) besagt das $G_{\mu\nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu}$ Wo $G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}$ ist der Einstein-Krümmungstensor.

In den meisten popwissenschaftlichen Erklärungen von GR sagen sie, dass Materie und Energie (oder ihre Dichte und ihr Fluss, denke ich), die durch repräsentiert werden $T_{\mu\nu}$ , bewirken, dass sich die Raumzeit krümmt, was meiner Meinung nach durch den Krümmungstensor dargestellt wird $G_{\mu\nu}$ . Objekte bewegen sich dann in dieser verzerrten Raumzeit auf dem kürzesten Weg, dem eigentlichen Zeitweg (geodätisch).

Sie tun dies oft, indem sie das ziemlich irreführende Bild vermitteln, eine große Masse auf einem Trampolin zu platzieren, wobei der Stoff des Trampolins Raumzeit ist, und zeigen, wie die große Masse bewirkt, dass sich der Stoff verbiegt, und wie dies die Bewegung kleinerer Objekte beeinflusst, die darauf geworfen werden das Trampolin.

Im Fall eines kugelförmigen, nicht rotierenden Planeten gehe ich davon aus $T_{\mu\nu}$ Ist $0$ überall, außer dort, wo der Planet ist. Das bedeutet also $G_{\mu\nu} = 0$ überall nicht innerhalb des Planeten.

Meine Frage ist, bedeutet das, dass es außerhalb des Planeten keine Krümmung gibt (oder ist die Einstein-Krümmung etwas anderes als die normale Krümmung)? Da dies zu implizieren scheint, dass es außerhalb des Planeten keine Krümmung der Raumzeit geben würde, ist dies eindeutig falsch, da Objekte die Sonne umkreisen.

Oder hat der Wert von $T_{\mu\nu}$ innerhalb des Planeten (wo er ungleich Null ist) die Krümmung der Raumzeit außerhalb des Planeten (wo er Null ist) in einem großen Radius um ihn herum beeinflussen?

Zusammenfassend lässt sich sagen, was ist der beste Weg, um darüber nachzudenken, wie Masse und Energie die Krümmung der Raumzeit um sie herum beeinflussen?

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seltsamer Caltech-Flex, aber okay

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Lösungen der Einstein-Feldgleichungen mit Tμν=0Tμν=0T_{\mu \nu} = 0

Prof. Legolasov · Answer 1

Hier spielen vier verschiedene Krümmungstensoren eine Rolle. Die vollständige Information über die Krümmung ist im Riemann-Tensor kodiert $R^{\sigma}_{\;\mu \tau \nu}$ , und die anderen drei Tensoren sind alle davon abgeleitet.

Der Ricci-Tensor ist eine Kontraktion

R_{μ v} = R_{μ σ v}^{σ} = G^{σ τ} R_{σ μ τ v} .

$R_{\mu \nu} = R^{\sigma}_{\;\mu \sigma \nu} = g^{\sigma \tau} R_{\sigma \mu \tau \nu}.$

Der Ricci-Skalar ist eine Kontraktion

R = G^{μ v} R_{μ v} .

$R = g^{\mu \nu} R_{\mu \nu}.$

Der Einstein-Tensor ist

G_{μ v} = R_{μ v} - \frac{1}{2} R G_{μ v} .

$G_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu \nu}.$

Das Verschwinden von $G_{\mu \nu}$ impliziert das Verschwinden von $R_{\mu \nu}$ . Es ist leicht zu zeigen: Kontrahieren Sie die Definition von $G_{\mu \nu}$ mit der inversen Metrik $g^{\mu \nu}$ , erhalten Sie

0 = G_{μ v} G^{μ v} = (1 - \frac{D}{2}) R .

$0 = G_{\mu \nu} g^{\mu \nu} = \left( 1 - \frac{d}{2} \right) R.$

Hier $d = g^{\mu \nu} g_{\mu \nu}$ ist die Dimensionalität der Raumzeit. Es sei denn $d = 2$ , Wir müssen haben $R = 0$ . Setzen Sie nun dieses Ergebnis in die Definition von ein $G_{\mu \nu}$ erhalten

0 = G_{μ v} = R_{μ v} - \frac{1}{2} \cdot 0 \cdot G_{μ v} = R_{μ v} .

$0 = G_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} \cdot 0 \cdot g_{\mu \nu} = R_{\mu \nu}.$

Daher verschwindet der Ricci-Tensor im Vakuum. Tatsächlich kam Einstein zu diesem Schluss, noch bevor die endgültige Form seiner Gravitationsgleichungen fertiggestellt war. Er versuchte es zu verallgemeinern $R_{\mu \nu} = \kappa T_{\mu \nu}$ zuerst, und das hat nicht geklappt, was ihn zur Definition von führte $G_{\mu \nu}$ .

Jedoch, $R_{\mu \nu} = 0$ bedeutet nicht $R^{\mu}_{\;\nu \sigma \tau} = 0$ . Die Raumzeit außerhalb der Region, in der sich der Planet befindet, ist immer noch gekrümmt, obwohl der Ricci-Tensor verschwindet. Ihre Intuition ist auch richtig: Wenn der volle Riemann-Tensor außerhalb des vom Planeten eingenommenen inneren Bereichs verschwinden würde, würden Testkörper in seiner Nähe seine Schwerkraft nicht spüren, was wir in der Natur überhaupt nicht beobachten.

Wie genau würden Sie den Wert von mathematisch verwenden? $T_{\mu\nu}$ innerhalb des Planeten, um herauszufinden, was $R^{\sigma}_{\mu \tau \nu}$ (die Riemann-Krümmung) befindet sich an irgendeinem Punkt außerhalb des Planeten? Außerdem sagt die Gleichheit von Einsteins Feldgleichung aus, dass die Werte der Einstein-Krümmung und des Energie-Impuls-Tensors (bis zu $8 \pi G/c^4$ ) an denselben Koordinaten (oder Ort in der Raumzeit) gleich sind?
@mihirb es ist eine Differentialgleichung, ähnlich wie andere Differentialgleichungen wie Maxwell. Erinnern Sie sich, wie in der Elektrodynamik das Coulombsche Gesetz der umgekehrten Quadrate aus einer lokalen Differentialgleichung abgeleitet werden kann $\nabla \vec{E} = \rho / \varepsilon_0$ ? Hier geht es ähnlich zu, nur mathematisch verwickelter. Betrachten Sie als Beispiele Lösungen von Einstein-Gleichungen, wie zB die des kollabierenden Sterns. Vakuumlösungen wie Schwarzschild sind ebenfalls aufschlussreich, aber sie ergeben sich für den Grenzfall, wo der Planet bis zu einem Punkt (einer Singularität) kollabiert.
Ich verstehe. Ich habe nach der Schwarzschild-Metrik gesucht und es scheint, als könnten Sie zuerst die Gleichungen für die Metrik unter Berücksichtigung der von Ihnen angenommenen Symmetrien lösen und dann die Metrik verwenden, um den Wert der Riemann-Krümmung an jedem beliebigen Punkt zu finden darin Freizeit. Also mathematisch der Wert von $T_{\mu \nu}$ in den Gleichungen beeinflusst die Riemann-Krümmung an jedem Punkt der Raumzeit durch die Metrik.
@mihirb ja, die Ableitung der Schwarzschild-Metrik dauert $T_{\mu \nu}$ berücksichtigt, wenn auch auf etwas seltsame Weise, da die Quelle dieser Metrik eine unendlich dichte Singularität ist.
@Prof.Legolasov Die Schwarschild-Lösung ist eine äußere Lösung, wenn die Raumzeit kugelsymmetrisch ist. Es beschreibt die Raumzeit außerhalb jedes perfekt kugelsymmetrischen, nicht rotierenden Objekts, nicht nur eines kollabierten Objekts (allerdings nur in diesem Fall beschreibt es die Raumzeit überall).
@Prof.Legolasov Also kann ich mir das vorstellen $T_{\mu\nu}$ als Quelle für die Krümmung in der Raumzeit? Die Einstein-Feldgleichungen beschreiben dann, wie sich diese Krümmung durch die Raumzeit ausbreitet und schließlich eine Krümmung in großer Entfernung von dem Ort verursachen kann, an dem sie sich befindet $T_{\mu\nu} \neq 0$ ? Ähnlich zu $\nabla \cdot \vec{E} = \rho / \epsilon_0$ sagen, wie sich das elektrische Feld aus einer Ladung ausbreitet?
@mihirb das ist genau richtig. Im Gegensatz zu Maxwell sind Einstein-Gleichungen jedoch nichtlinear (was bedeutet, dass eine Summe von Lösungen selbst keine Lösung ist), was die entsprechende Mathematik viel komplizierter macht
@Prof.Legolasov Ich verstehe. Nehmen wir also an, es gäbe keine Masse in einer Region der Raumzeit und plötzlich erschien eine kugelsymmetrische Masse in der Raumzeit. Dann wäre die durch diese Masse verursachte Krümmung, die nur dort begann, wo es einen Wert ungleich Null gab $T_{\mu\nu}$ , sich von dieser Masse langsam durch die Raumzeit ausbreiten und schließlich eine Krümmung in großer Entfernung um sie herum erzeugen, die der Schwarzschild-Metrik folgt? Und beschreiben die Einsteinschen Feldgleichungen so etwas?
Ich frage mich wohl, wie genau die Krümmung lokal an einer Stelle entsteht $T_{\mu \nu} \neq 0$ sich ausbreitet, um eine Krümmung in der Raumzeit zu erzeugen, wo $T_{\mu\nu} = 0$ um eine Masse. Oder zumindest wenn es eine Möglichkeit gibt, es mathematisch zu beschreiben.
@mihirb dieses mentale Modell ist im Wesentlichen korrekt, jedoch mit einer Einschränkung. Die von Ihnen beschriebene Situation ist physikalisch unmöglich, weil $T_{\mu \nu}$ befriedigen muss $T^{\mu \nu}_{\;\;\;\;;\nu} = 0$ . Es ist jedoch möglich, eine präzise Aussage entlang Ihrer Denkweise zu machen, die darauf schließen lässt, dass Störungen in der Materieverteilung dazu führen, dass sich die Kräuselungen (Gravitationswellen) in der Raum-Zeit-Geometrie mit lokaler Geschwindigkeit nach außen ausbreiten $c$ . Ich werde diese genaue Aussage hier nicht machen, da es sich um eine lange Geschichte handelt und Kommentare nicht für längere Diskussionen gedacht sind.

JEB · Answer 2

Es stimmt:

G_{μ v} = 0

$G_{\mu\nu} = 0$

an, sagen wir, der Raumstation ... aber es sitzt nicht einfach da, oder?

Schauen Sie sich die Maxwell-Gleichung an:

\nabla \cdot E = ρ / ϵ_{0}

${\bf \nabla \cdot E} = \rho/\epsilon_0$

Wir könnten genauso gut sagen "Ladung sagt dem elektrischen Feld, wie es divergieren soll, und das elektrische Feld sagt der Ladung, wie es sich bewegt" (um JA Wheeler zu paraphrasieren), aber eine Null-Divergenz in der Nähe einer Ladung bedeutet nicht ein Null-Elektrofeld.

Ebenfalls, $G_{\mu\nu}=0$ bedeutet nicht $g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu}$ .

Danke! Der Vergleich zum Elektromagnetismus u $\nabla \cdot \vec{E} = \rho / \epsilon_0$ war sehr hilfreich.
Eine Frage aber. Was wäre das Feld in GR, das dem elektrischen Feld im Elektromagnetismus entspricht? Freizeit? dh jede Masse beeinflusst die Krümmung in einem Bereich der Raumzeit um sie herum ähnlich wie eine Ladung ein elektrisches Feld in einem großen Bereich um sie herum erzeugt? Ich denke, die lokalen Einstein-Gleichungen an jedem Punkt können Ihnen sagen, wie die Masse (Region wo $T_{\mu\nu} \neq 0$ )-Effekt auf die Raumzeit kann sich "ausbreiten" und die Krümmung der Raumzeit am Standort der Raumstation beeinflussen.

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