Ist jede Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen eindeutig?

Einsteins Gleichung ist

$$G_{ab} = 8 \pi T_{ab}.$$

Die linke Seite der Gleichung,$G_{ab}$, wird Einstein-Tensor genannt . Es ist ein Ausdruck, der zweite Ableitungen der Metrik beinhaltet,$g_{ab}.$

Die rechte Seite der Gleichung,$T_{ab}$, wird als Spannungs-Energie-Tensor bezeichnet . Jeder Spannungs-Energie-Tensor ist mit einer einzigartigen Materiekonfiguration verbunden.

Bei einer bestimmten Materiekonfiguration$T_{ab}$, können wir vollständig spezifizieren$G_{ab}.$Aber$G_{ab}$beinhaltet Ableitungen der Metrik, nicht die Metrik selbst. Also spezifizieren$G_{ab}$gibt die Metrik nicht eindeutig an. Tatsächlich gibt es mehrere verschiedene Metriken, die zu demselben Einstein-Tensor und damit zu derselben Materiekonfiguration führen können. Die Antwort auf Ihre erste Frage lautet also nein . Es ist möglich, mehrere verschiedene Metriken mit derselben Rechtsangelegenheitskonfiguration zu haben.

Bei einer bestimmten Metrik$g_{ab}$, können wir vollständig spezifizieren$G_{ab}$durch den Einsatz von Derivaten. Seit$T_{ab} = G_{ab} / 8 \pi$, die Angabe einer Metrik spezifiziert auch den Spannungs-Energie-Tensor und damit die Materiekonfiguration vollständig. Die Antwort auf Ihre zweite Frage lautet also nein , es ist nicht möglich, eine Metrik zu haben, die mehreren Materiekonfigurationen entspricht.

Bearbeiten: Wie Benutzer Timaeus in den Kommentaren betont, der Stress-Energie-Tensor$T_{ab}$ist nicht mit einer eindeutigen Materiekonfiguration verbunden. Beispielsweise enthält es keine Informationen über die elektrische Ladung. Aus Sicht des reinen GR ist dies irrelevant, da es die Krümmung der Raumzeit nicht beeinflusst. Wenn jedoch nicht-gravitative Effekte (wie elektrostatische Kräfte usw.) betrachtet werden, gilt die Aussage "jeder Spannungs-Energie-Tensor ist mit einer einzigartigen Materiekonfiguration verbunden" nicht.