Wie lautet die geometrische Interpretation des Einstein-Tensors Rμν−12gμνRRμν−12gμνRR_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu \nu} R?

TL;DR:

$\nabla^\mu G_{\mu\nu} = 0$wird durch die folgende Aussage impliziert - Es gibt keine magnetischen Gravitationsladungen.

Lange Antwort

Es hilft immer, wenn man versucht, etwas zu intuieren, es mit anderen Dingen zu vergleichen, für die man bereits Intuition hat!

Beginnen wir mit dem Elektromagnetismus. Dies wird durch eine Feldstärke beschrieben$F_{\mu\nu}$was die Bianchi-Identität erfüllt

Wir können dies auch auf nicht-abelsche Eichtheorien ausdehnen, wo die Bianchi-Identität eine etwas kompliziertere Form annimmt

BEISPIEL - Wenn Sie mit nicht-abelschen Eichtheorien nicht vertraut sind, denken Sie einfach an$A_\mu$als Matrix mit Elementen$(A_\mu)^a{}_b$Und$[A,B] = AB-BA$bezeichnet Matrixkommutierung. Die Feldstärke wird in Bezug auf definiert$A$als

Nachdem wir diese Intuition verstanden haben, gehen wir zum Gravitationsfall! In etwa das Christoffel-Symbol$\Gamma^\lambda_{\mu\nu}$ist unser nicht-abelsches Eichfeld (stellen Sie es sich vor als$(A_\mu)^\lambda{}_\nu = \Gamma^\lambda_{\mu\nu}$und der Riemann-Tensor ist unsere Feldstärke,

Die Bianchi-Identität für den Riemann-Tensor ist

Die Erhaltung des Einstein-Tensors ist nur eine Kontraktion der obigen Bianchi-Identität (beweisen Sie dies, indem Sie die Identität mit kontrahieren$g^{\alpha\rho} g^{\mu\sigma}$).

PS - Diese Antwort scheint darauf hinzudeuten, dass die Schwerkraft nur eine bestimmte Art von nicht-abelscher Eichtheorie ist. Tatsächlich ist dies aufgrund anderer Probleme nicht der Fall. Die Darstellung hier ist jedoch gut für die Intuition.

TL;DR- Allgemeine Relativitätstheorie (GR) basiert auf allgemeiner Koordinateninvarianz; Dies bedeutet, dass die Physik unter einer allgemeinen Koordinatentransformation (GCT) invariant ist. Diese Invarianz impliziert die kontrahierten Bianchi-Identitäten ($\nabla_\nu G^{\mu \nu} =0$), die uns wiederum Einschränkungen für die Bewegungsgleichungen geben. Wir brauchten sowieso einige Einschränkungen, da wir am Anfang willkürliche GCT zugelassen hatten. Das bestimmen Einsteins Feldgleichungen nicht$g_{\mu \nu}$einmalig, aber nur bis zu$4$willkürliche Koordinatentransformationen, wird durch die kontrahierten Bianchi-Identitäten erklärt.

Faktoren von ignorieren$16$Und$\pi$In der gesamten Antwort ist die Einstein-Hilbert-Aktion

Unter willkürlichen Variationen der Metrik,$\delta g^{\mu \nu}$, das Prinzip der kleinsten Wirkung$\delta S=0$gibt uns Einsteins Bewegungsgleichungen im Vakuum:$G_{\mu \nu}=0$. (Sie können den Vorgang wiederholen, indem Sie eine Lagrange-Materie hinzufügen). So$G_{\mu \nu}$ist der quellenfreie Teil der Bewegungsgleichungen für das metrische Feld$g_{\mu \nu}$. In$3+1$Maße,$G_{\mu \nu}$ist der eindeutige Tensor (abgesehen vom metrischen Tensor selbst), aus dem konstruiert wird$g_{\mu \nu}$und seiner ersten und zweiten Ableitung, ist in seinen beiden Indizes symmetrisch und divergenzfrei ( Theorem von Lovelock ). In höheren Dimensionen$G_{\mu \nu}$ist nicht mehr eindeutig, wenn man nichtlineare Funktionen von 2. Ableitungen der Metrik zulässt. Aber wenn Sie nur lineare Funktionen von 2. Ableitungen der Metrik zulassen,$G_{\mu \nu}$bleibt einzigartig.

Aber ohne sich zu beeilen, die Bewegungsgleichungen zu erhalten, können Sie nützliche Informationen nur aus der Form der Aktionsvariation gewinnen$(1)$.

GR muss unter GCT invariant sein, also$S$muss unter GCT unveränderlich sein$\Rightarrow \delta S = 0$unter AGB:$x \rightarrow x'$. Was könnte uns das sagen? Es reicht aus, infinitesimale GCT zu betrachten. Also, nehme an

Bewerten Sie unter diesem infinitesimalen GCT die Variation des metrischen Tensorfelds,

Beachten Sie die Symmetrie der Indizes$\mu, \nu$. Ersatz$(2)$In$(1)$zu bekommen

Partielle Integration und Anwendung des Satzes von Gauß ergibt

Daran erinnernd$\epsilon_\mu$ist willkürlich$V$und das$\epsilon_\mu = 0$An$\partial V$, sehen wir, dass nach Aktionsinvarianz gefragt wird,$\delta S=0$, unter GCT impliziert

Einsteins Gleichungen$G_{\mu \nu} = T_{\mu \nu}$scheinen, als würden sie implizieren, dass es sie gibt$10$Gleichungen für$10$Unbekannte hinein$g_{\mu \nu}$. Aber das ist nicht die ganze Geschichte. Da wir GCT machen dürfen, bestimmen Einsteins Gleichungen nicht eindeutig$g_{\mu \nu}$, aber nur bis$4$beliebige Koordinatentransformationen. Der$4$Gleichungen ein$\nabla_\nu G^{\mu \nu} =0$Geben Sie das fehlende Glied an. Explizites Umschreiben der Bianchi-Identitäten in Bezug auf die zeitähnlichen Komponenten von$G^{\mu \nu}$, wir sehen

Die Divergenz des Ricci-Tensors ist identisch$\nabla^\mu R_{\mu \nu} = \frac{1}{2}g_{\mu \nu} R$, als Folge der Bianchi-Identitäten. Der Einstein-Tensor ist also konstruktionsbedingt der Ricci-Tensor minus seiner Divergenz. Obwohl es nicht offensichtlich ist, impliziert der Satz von Lovelock, dass der Einstein-Tensor der einzige divergenzfreie Tensor ist, der nur von abhängt$g_{ab}$und seine ersten beiden Ableitungen. Ich denke, das kommt einem "intuitiven" Verständnis am nächsten, das wirklich da draußen zu haben ist.

Das ist an sich eine Sache der Geometrie und hat nichts mit Physik zu tun. Die Physik motiviert dann, warum wir uns um die oben genannten Eigenschaften kümmern sollten: wenn wir die Metrik an einen divergenzfreien Tensor vom zweiten Rang (dh den Spannungs-Energie-Tensor) koppeln wollen und für physikalische Anfangswertprobleme nur die Kenntnis des `` erfordern Position und Geschwindigkeit" und damit die Physik offensichtlich koordinateninvariant ist, dann ist der Einstein-Tensor das einzige Spiel in der Stadt.

Es ist erwähnenswert, dass Einsteins ursprüngliche Gravitationstheorie, die „Entwurf“-Theorie, tatsächlich die Feldgleichungen verwendete

die an eine koordinative Bedingung gekoppelt werden musste, die dies durchsetzte$R_{\mu \nu}$divergenzfrei sein. Dies ist identisch mit der allgemeinen Relativitätstheorie im Vakuum und ist tatsächlich die Theorie, die Einstein verwendete, um die Perihel-Präzession des Merkur vorherzusagen. Der Einstein-Tensor wurde eingeführt, um die vollständige Koordinateninvarianz wiederherzustellen$\nabla^\mu T_{\mu \nu} = 0$auf der Ebene der Feldgleichungen erzwungen.

Auf die Gefahr hin, ohne gute Argumente herabgestuft zu werden, kann ich Ihnen sagen, dass Sie diese Gleichungen als relativistische Gleichungen für eine Fluiddynamik verstehen können, sodass die G-Gleichung als eine Art Kontinuitätsgleichung angesehen werden kann. Es zeigt die Energie-Impuls-Erhaltung an. Mein Rat: Googeln Sie relativistische Strömungsdynamik.