Ist die Raumzeit in einer Kugelschale flach?

In einer perfekt symmetrischen Kugelhohlschale gibt es nach Newton eine Null-Netto-Gravitationskraft, da in seiner Theorie die Kraft genau umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung ist.

Was ist das Ergebnis der Allgemeinen Relativitätstheorie? Ist die Raumzeit innen flach (angesichts der Tatsache, dass sich die Umlaufbahn des Merkur dreht, glaube ich nicht)? Wie wird das Signal vom Hohlraum zu einem Beobachter im Unendlichen rotverschoben?

"Ist die Raumzeit flach" scheint eine seltsame und möglicherweise irreführende Art zu sein, es auszudrücken ... wenn hier etwas Analoges zu Newtons Shell Theorem anwendbar ist, sagt Ihnen das nur, dass die durch die Hülle verursachte Nettokrümmung Null ist ... selbst wenn Das ist der Fall, das würde immer noch nicht bedeuten, dass die Raumzeit innen flach ist, da es möglicherweise andere Objekte im Universum außerhalb der Hülle gibt, die Kräfte ausüben und diese Region des Raums verzerren, oder?
Der GR-Fall ist nicht ganz so analog zum Newtonschen Fall, wie Sie vielleicht denken, oder so wichtig. GR ist nichtlinear, sodass Sie eine kugelsymmetrische Massenverteilung nicht als Summe konzentrischer Schalen behandeln können. Und es gibt eine Zweideutigkeit darin, wie wir das Problem darstellen. Beispielsweise ist die Raumzeit einer frei kollabierenden Staubhülle durch eine Oppenheimer-Snyder-Lösung gegeben, während die Raumzeit für eine durch innere Kräfte im statischen Gleichgewicht gehaltene Hülle anders ist. Dinge wie Rotverschiebungen im Unendlichen sind nicht gut definiert, wenn sie nicht statisch sind.

Antworten (1)

Hier werden wir nur die beiden ersten Fragen von OP (v1) beantworten. Ja, Newtons Shell Theorem lässt sich wie folgt auf die Allgemeine Relativitätstheorie verallgemeinern . Der Satz von Birkhoff besagt, dass eine kugelsymmetrische Lösung statisch ist und eine (nicht unbedingt dünne) Vakuumhülle (dh ein Bereich ohne Masse/Materie) einem radialen Zweig der Schwarzschild-Lösung entspricht

(1) d s 2   =   − ( 1 − R r ) c 2 d t 2 + ( 1 − R r ) − 1 d r 2 + r 2 d Ω 2

in einem radialen Intervall r ∈ ich := [ r 1 , r 2 ] . Hier die Konstante R ist der Schwarzschild-Radius , und d Ω 2 bezeichnet die Metrik des Winkels 2 -Kugel.

Da gibt es keine Masse M in der Mitte des inneren hohlen Bereichs von OP r ∈ ich := [ 0 , r 2 ] , der Schwarzschild-Radius R = 2 G M c 2 = 0 ist Null. Daher ist die Metrik (1) im hohlen Bereich nur ein flacher Minkowski-Raum in sphärischen Koordinaten.

Gut gemacht. Seufzen. Es ärgert mich wirklich, dass jemand eine nette Antwort auf eine nette Frage schreiben kann und am Ende eine "0"-Punktzahl erhält, selbst nachdem sie als Antwort auf die Frage ausgewählt wurde. Denken die Leute, dass sie +s von ihrem Bankkonto bezahlen müssen?
Eine einfache und schöne Antwort in der Tat!
Gilt diese Schlussfolgerung immer noch, wenn wir eine nicht verschwindende positive kosmologische Konstante haben?
Ja, aber die Rolle des Minkowski-Raums wird dann durch den de Sitter-Raum ersetzt.
Aber Leos fragte auch nach der Rotverschiebung des Lichts aus der Höhle.
Es ist dasselbe wie die Rotverschiebung von der Oberfläche
@Qmechanic Ersetzen R = 0 Im ( 1 ) erzeugt nicht die korrekte Zeitdilatation innerhalb der Hülle. Mit anderen Worten, diese Metrik erfüllt nicht die Übergangsbedingungen über die Schale. Was ist die richtige Formel für die darin enthaltene Metrik?
@Qmechanic Hier ist die richtige Lösung: arxiv.org/abs/1203.4428
@safesphere: Danke für das Feedback. Tatsächlich sind die Beziehungen zwischen Koordinatensystemen innerhalb, außerhalb und auf der einfallenden dünnen Hülle nicht trivial.
Das OP fragte: "Wie wird das Signal vom Hohlraum zu einem Beobachter im Unendlichen rotverschoben?", Aber die Antwort geht nicht darauf ein. Das Papier von Zhang und Yi erörtert dies.
@safesphere: Das Ersetzen von R = 0 in (1) erzeugt nicht die korrekte Zeitdilatation innerhalb der Hülle. Mit anderen Worten, diese Metrik erfüllt nicht die Übergangsbedingungen über die Schale. Was ist die richtige Formel für die darin enthaltene Metrik? Es ist nichts Falsches daran, die Metrik in dieser Form zu schreiben. Das Zhang-Papier weist nur darauf hin, dass die Koordinaten, die zum Schreiben der Metrik auf diese Weise verwendet werden, nicht auf natürliche und kontinuierliche Weise mit den Schwarzschild-Koordinaten im Außenbereich verbunden werden können.
@BenCrowell Das Papier stellt klar, dass " der diskontinuierliche Zeitausdruck der Metrik an allen inneren Grenzen, dh die Uhren sind auf beiden Seiten einer Grenze unterschiedlich definiert [...] eindeutig nicht physikalisch und auch mathematisch falsch ist ".
Ist die Raumzeit in einer Kugelschale flach?
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