Demonstration der Allgemeinen Relativitätstheorie

Hier ist das beste Bild von allen, um sich ein Bild von der Allgemeinen Relativitätstheorie zu machen.

Wenn Sie bereit sind, ein wenig Zeit in das Verständnis des obigen Bildes zu investieren, werden Sie GR viel besser verstehen als jede andere Methode, ohne Verzerrung und unter Verwendung des ursprünglichen Quellmaterials.

Allgemein ausgedrückt bedeutet dies, dass die Krümmung des 4-dimensionalen Raums auf der linken Seite durch die Menge an Massenenergie auf der rechten Seite ausgeglichen wird.

So$R_{v\mu}$ist der Teil der Gleichung, der Ihnen sagt, wie viel Raumzeit sich in Gegenwart von Masse/Energie krümmt.

Das nächste Semester$\frac {1}{2}Rg_{v\mu}$ist ein Begriff, der unter anderem Differenzierung beinhaltet (nichts für ungut gemeint, aber ich vermute, Sie kennen die Grundidee der Differenzierung, wenn eine Funktion A = Funktion B, dann sollten ihre Ableitungen auch gleich sein, also musste Einstein diesen Begriff aufnehmen ).

Die letzte Amtszeit$\Lambda g_{v\mu }$die kosmologische Konstante heißt, musste Einstein diesen Term einbeziehen, sonst hätte seine Gleichung vorausgesagt, dass die Gravitation die Galaxien schon vor langer Zeit wieder zusammengezogen hätte. Er brauchte einen Begriff, der als abstoßende Kraft wirkte, um die Gravitationskraft nach innen auszugleichen, da er zum Zeitpunkt seiner Gleichung glaubte, das Universum sei statisch. Das ist der Begriff, der jetzt mit dem Dark Energy-Konzept verbunden ist.

Auf der rechten Seite ist$T_{v\mu }$(Die Zahlen davor, die Sie wahrscheinlich bereits kennen, sind Newtons Gravitationskonstante und c, die Lichtgeschwindigkeit hoch 4), die verwendet werden, um beide Seiten der Gleichung auszugleichen.

Der Begriff$T_{v\mu }$ist ein Hinweis darauf, wie viel Masse/Energie in einer bestimmten Region vorhanden ist, diese Region könnte den Bereich um die Erde bis nach außen umfassen, bis hin zur Größe des sichtbaren Universums.

Hyperphysik oder Wikipedia sagt Ihnen viel mehr über diese Gleichung, die nicht wirklich kompliziert ist, und meiner Meinung nach sicherlich nicht komplizierter ist, als herauszufinden, was ein Künstler mit einem, sagen wir Trampolin-förmigen Raum zu beschreiben versucht. Die einzige Möglichkeit, wie wir 3D-Kreaturen die 4D-Raumzeit wirklich verstehen können, ist Mathematik.

Das zweite Diagramm ist hundertprozentig korrekt.

Eines der großen Prinzipien der allgemeinen Relativitätstheorie – das Äquivalenzprinzip – kann verwendet werden, um das Diagramm auf ein Diagramm in der speziellen Relativitätstheorie zu reduzieren.

Wir kümmern uns um eine Person im freien Fall, die vom Dach eines Hauses springt und auf dem Boden aufschlägt. Das Äquivalenzprinzip besagt, dass dies dasselbe ist wie jemand, der in einem Raumschiff steht, das mit 9,81 Quadratmetern pro Sekunde beschleunigt. Wir können also ein äquivalentes Problem betrachten: Das Raumschiff beschleunigt mit 9,81 Metern pro Quadratsekunde und passiert eine frei fallende Person, die von der Nase des Raumschiffs auf sein Heck "fällt". Im Rahmen der Person (des frei fallenden Beobachters) beschleunigt das Raumschiff (oder der Boden) auf ihn zu, und er befindet sich in einer flachen Raumzeit! Das Äquivalenzprinzip besagt, dass „der Boden, der auf dich zustürzt“ ein zu 100 % zutreffender Ausdruck ist. Lassen Sie uns dieses Problem vollständig lösen.

Zuerst müssen wir auflösen, welchen Weg das Raumschiff verfolgt. Um die Einheiten schön zu machen, gehe ich davon aus, dass das Heck des Raumschiffs beschleunigt$9\cdot 10^{16}\mbox{ meters per second}^2$- eine große Zahl, um zu kompensieren, dass die Achsen in meinem Diagramm "Meter" sind. Es stellt sich heraus$(ct,x)$Koordinaten des Hecks des Raumschiffs zeichnen den Weg nach$(\sinh(k),\cosh(k)-1)$(gemessen in Metern), und die Vorderseite des Raumschiffs zeichnet den Weg nach$(ct_2,x_2)=((1+\ell)\sinh(k),(1+\ell)\cosh(k)-1)$, Wo$\ell$ist die richtige Länge des Raumschiffs in Metern. Ich stecke ein$\ell=0.5\mbox{ meters}$. Das sieht wie folgt aus:

Beachten Sie, dass sich die Koordinatenposition der Nase des Raumfahrzeugs aufgrund der Längenkontraktion langsam der Rückseite des Raumfahrzeugs nähert.

Dies alles wird in der flachen Minkowski-Raumzeit beschrieben. Ein Beobachter im freien Fall spürt keine der Beschleunigungskräfte und bewegt sich daher einfach in einer geraden Linie auf diesem Diagramm:

Dies ist Ihr Originalbild! Beachten Sie, dass die Beschleunigung in diesem Diagramm so hoch ist, weil ein Teilstrich auf der horizontalen Achse (der Zeitachse) nur 3,3 Nanosekunden lang ist! Die reale Version für unsere 9,81 Meter pro Quadratsekunde wäre nur eine weniger übertriebene Version dieser Grafik.

Aufgrund der Längenkontraktion bewegt sich die Spitze des Raumfahrzeugs immer ein klein wenig langsamer als die Rückseite des Raumfahrzeugs. Die Zeitdilatation besagt, dass die Zeit für sich schneller bewegende Objekte langsamer vergeht. Daher vergeht die Zeit an der Spitze des Raumfahrzeugs ein kleines bisschen schneller als an der Rückseite des Raumfahrzeugs, so unser Beobachter des freien Falls. Dies ist genau wie in Ihrem Beispiel angegeben, wo die Zeit auf dem Dach schneller vergeht als auf dem Boden.

Wir haben das Problem jetzt im Koordinatensystem unseres frei fallenden Beobachters gelöst, könnten aber nach dem Äquivalenzprinzip zum Koordinatensystem des Raumschiffs zurückkehren. Sobald wir dies tun, werden unsere Koordinaten in Rindler-Koordinaten verzerrt . In unseren verzerrten Rindler-Koordinaten folgen frei fallende Objekte nicht mehr geraden Linien, sondern erfüllen stattdessen die geodätische Gleichung .

Seltsamerweise hat all dies nichts mit der Verzerrung der Raumzeit zu tun. Dieses Beispiel findet vollständig in der flachen Raumzeit statt. Während wir einen Aufzug auf diese Weise beschreiben können, können wir nicht die gesamte kugelförmige Erde auf diese Weise beschreiben. Die gesamte Erdoberfläche kann nicht gleichzeitig "nach außen beschleunigt" werden ... es sei denn, die Raumzeit ist gekrümmt.

Erklärung der Formeln.

In der speziellen Relativitätstheorie, wenn die Rückseite des Raumschiffs eine konstante Eigenbeschleunigung hat$g$, dann reist es in einer Raumzeit - Hyperbel .$(ct,x)=(\frac{c^2}{g}\sinh(\frac{g \tau}{c}),\frac {c^{2}}{g}\left(\cosh {\frac {g\ \tau }{c}}-1\right))$, Wo$\tau$ist die richtige Zeit auf der Rückseite des Raumschiffs. Wir kümmern uns eigentlich nicht um die richtige Zeit im hinteren Teil des Raumschiffs, also können wir einfach definieren$k=\frac{g \tau}{c}$Und$a=\frac {c^{2}}{g}$. Ich werde wählen$a=1\mbox{ meter}$, was eine Beschleunigung von darstellt$g=\frac{(3\cdot 10^8\mbox{ meters per second})^2}{1\mbox{ meter}}=9\cdot 10^{16}\mbox{ meters per second}^2$. Das ist viel mehr als die 9,81 Meter pro Quadratsekunde der Erde, aber es macht die Mathematik viel schöner! Wo also die Einheiten in Metern sind, zeichnet die Rückseite des Raumschiffs den Weg nach:$(ct_1,x_1)=(\sinh(k),\cosh(k)-1)$

Sobald wir wissen, wie ein sich ständig beschleunigender Beobachter aussieht, können wir uns die Rindler-Koordinaten ausdenken . Wir schlussfolgern, dass die Vorderseite des Raumschiffs den Weg vorzeichnet$(ct_2,x_2)=((1+\ell)\sinh(k),(1+\ell)\cosh(k)-1)$. Dies ist eine weitere Raumzeithyperbel mit einer etwas kleineren Beschleunigung. Es entspricht konstanten Koordinaten in Rindler-Koordinaten, getrennt durch einen Abstand$\ell$.

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Ich habe zunächst fälschlicherweise so argumentiert: Ich möchte, dass das Raumschiff immer die richtige Länge hat$\ell$, also werde ich sagen, dass die Vorderseite des Raumschiffs ist$(ct,x+\frac{\ell}{\gamma})$, Wo$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ist der Längenkontraktionsfaktor und$v$ist die Geschwindigkeit des Raumschiffs. Wir haben$\frac{v}{c}=\frac{dx}{c dt}=\frac{\sinh(k)dk}{\cosh(k)dk}=\tanh{k}$. Wenn wir dies einstecken und hyperbolische trigonometrische Identitäten verwenden, finden wir$\gamma=\cosh{k}$, und dass die Vorderseite des Raumschiffs den Weg vorzeichnet$(\sinh(k),\cosh(k)-1+\frac{\ell}{\cosh(k)})$.

Dies ist inkonsistent, weil es impliziert, dass sich die Spitze langsamer bewegt als die Rückseite. Ich kann den Längenkontraktionsfaktor nicht ableiten, indem ich annehme, dass sich der gesamte Körper des Raumschiffs mit derselben Geschwindigkeit bewegt, und dann schlussfolgere, dass sich die Spitze langsamer bewegt als das Heck! (in Bezug auf unseren Trägheitsbeobachter)