Warum ist statt des Impulsvektors PμPμP_{\mu} der Energie-Impuls-Tensor TμνTμνT_{\mu \nu} die Quelle des Gravitationsfeldes?

Denn für eine kontinuierliche Verteilung von Materie (oder Energie), wie z. B. einer Flüssigkeit, ist das, was Sie wirklich wollen, die Impulsdichte , und diese Dichte wird durch den Energie-Impuls-Tensor angegeben.

Wenn Sie eine Flüssigkeit haben (oder wieder eine beliebige Energieverteilung), können Sie an jedem Punkt die Geschwindigkeit definieren$\mathbf{u}$, die sich in der Raumzeit auf die Vierergeschwindigkeit verallgemeinert$u^\mu$. Bisher kein Problem. Aber wenn Sie den Impuls an jedem Punkt wollen, ist das die Masse mal der Geschwindigkeit. Und wir stoßen auf ein Problem, denn die Masse eines einzelnen Punktes ist null! Masse ist keine Größe, die an jedem Punkt definiert werden kann; es ist kein Feld.

Das ist in Ordnung, denn wir wissen, dass wir eigentlich die Massendichte hätten verwenden sollen. Und so können wir in der Newtonschen Mechanik die Impulsdichte schreiben als$\rho \mathbf{u}$, und die Energiedichte als$\frac12 \rho u^2$. Aber in der Relativitätstheorie funktioniert das nicht wirklich, weil die Dichte kein Skalar ist: Sie ändert sich nach einem Lorentz-Schub. Etwas Mathematik zeigt, dass sich die Energiedichte als Null-Null-Komponente eines Tensors transformiert (wobei zwei Faktoren von$1/\sqrt{1-v^2}$), das ist der Energie-Impuls-Tensor.

Oder anders ausgedrückt: Die Energie-Impuls-Dichte, was auch immer sie ist, muss zwei Indizes haben. Sie brauchen einen Index, um mir zu sagen, was Ihre Zeitachse ist; und dann kann ich den 3D-Raum orthogonal zu dieser Zeitachse nehmen und die Impulsdichte in diesem Raum angeben, wobei der andere Index berücksichtigt wird. Aber ich kann keine Dichte definieren, wenn Sie mir nicht sagen, wie Sie die Raumzeit in Raum und Zeit aufteilen.

Eigentlich verwenden wir so etwas wie$P_\mu P_\nu$. Wenn Sie den Ausdruck summieren$P_\mu v_\nu$für alle Materieteilchen in einer Region erhält man$T_{\mu\nu}$, zumindest für das Materieelement. Sie benötigen immer noch die em-Komponente von Photonen, aber Sie können sehen, dass sie wegen der Erhaltung des Energie-Impulses enthalten sein muss.

Einstein hatte viel früher erkannt, dass die Krümmung eine Rolle spielen muss, indem er an das Zwillingsparadoxon dachte, das ihn dazu veranlasste, das Äquivalenzprinzip auszudrücken. Man kann Riemann nicht verwenden, weil das bedeuten würde, dass die Raumzeit in Regionen ohne Masse flach war. Er versuchte es mit Ricci, aber es funktionierte nicht. Erst als er herausfand, dass der Einstein-Tensor der kontrahierten Bianci-Identität gehorcht und folglich automatisch Energie-Impuls erhält, fand er die richtige Gleichung.

Hier ist eine Argumentationslinie: Erinnern Sie sich an diese Quelle$J_k$ist (minus) die Ableitung der effektiven Wirkung $\Gamma[\phi_{\rm cl}]$wrt. den klassischen Bereich$\phi^k_{\rm cl}$. In Analogie dazu kann man den Hilbert/metrischen SEM-Tensor betrachten

$$T^{\mu\nu}~:=\pm\frac{2}{\sqrt{|g|}}\frac{\delta S}{\delta g_{\mu\nu}}$$ als Quelle des Gravitationsfeldes$g_{\mu\nu}$, vgl. Titelfrage von OP.

Ausgangspunkt der Begründung sollte die klassische Newtonsche Gravitationsfeldgleichung sein. Das ist nicht Newtons berühmtes Gravitationsgesetz, sondern die Poisson-Gleichung mit der Massendichte auf der rechten Seite:

$$\Delta \phi = 4\pi \rho$$

Diese Gleichung ist viel allgemeiner und ermöglicht die Berechnung des Gravitationspotentials für jede Art von Massenverteilung, ausgedrückt durch die Massenverteilungsdichte$\rho(\vec{r})$, insbesondere für$\rho(\vec{r})= m\delta^3(\vec{r}-\vec{r}')$für eine Masse$m$bei$\vec{r}'$.

Die EFE (Einsteins Feldgleichungen) sollten auf jeden Fall die Poisson-Gleichung in Newtonscher Näherung enthalten. Wenn wir das EFE in der folgenden Form verwenden (sagen wir Lichtgeschwindigkeit$c=1$):

$$R^i_k = 8\pi G (T^i_k - \frac{1}{2}\delta^i_k T^l_l)$$

Wir beschränken die Analyse auf die$^0_0$Komponente:

$$R^0_0 = 8\pi G (T^0_0 - \frac{1}{2} T^l_l)= 4\pi G(T^0_0-T^1_1-T^2_2-T^3_3)\approx 4\pi G\rho$$

verwenden$T_{ik}=diag(\epsilon, p,p,p)$Wo$\epsilon \equiv \rho$Wenn$c=1$ist die Energiedichte. Dies ist der Energie-Impuls-Tensor einer inkompressiblen Flüssigkeit in Ruhe.

Außerdem gehen wir in den meisten Fällen von Druck aus$p$kann in dieser Näherung als Gravitationsquelle vernachlässigt werden (in der Newtonschen Theorie dient der Druck zumindest nicht als Gravitationsquelle). Damit geben wir bereits den Quellterm (RHS) der Poisson-Gleichung wieder. Der Versuch, den Energie-Impuls-4-Vektor oder Binome davon zu verwenden, würde jedoch einen solchen Ausdruck nicht konstruieren.

Die Analyse der LHS ist etwas aufwändiger. Der beste Ansatz ist über die geodätische Abweichungsgleichung. Es ist bekannt, dass im freien Fall die gefühlte Beschleunigung in Richtung der massiven Quelle vollständig eliminiert werden kann, während ausgedehnte Sondenkörper immer noch Gezeitenkräfte spüren, die nicht eliminiert werden können. Die formale Beschreibung erfolgt über die Gleichung der geodätischen Abweichung, die Komponenten des Riemann-Tensors enthält:

$$\frac{d^2 n^i}{ds^2} =-R^i_{0j0} n^j$$

die die Beschleunigung eines Normalenvektors beschreibt$n^i$zwischen zwei benachbarten Geodäten. In GR ist diese Gezeitenkraft mit der Raumkrümmung verbunden, ausgedrückt in der Gleichung durch den Riemann-Tensor.

Eigentlich lässt sich etwas Vergleichbares auch in der Newtonschen Theorie machen: Für zwei benachbarte Massenpunkte auf den Bahnen:$x^i(t)$Und$x^i(t)+n^i(t)$wir erhalten 2 Bewegungsgleichungen:

$$\ddot{x^i}(t)= - \frac{\partial\phi}{\partial x^i}\mid_{x(t)}$$

Und

$$\ddot{x^i}(t)+\ddot{n^i}(t) = - \frac{\partial\phi}{\partial x^i}\mid_{x(t)+n(t)}$$

Differenzbildung beider Gleichungen ergibt:

$$\ddot{n^i}(t)= - \frac{\partial^2\phi}{\partial x^i\partial x^j}n^j(t)$$

Wir können also folgende Korrespondenz herstellen:

$$R^i_{0j0} \leftrightarrow \partial_i\partial_j \phi$$

Wenn wir die Indizes zusammenziehen$i$Und$j$wir bekommen:

$$R_{00} \leftrightarrow \Delta\phi$$

Also wenn ersetzen$R_{00}$von$\Delta\phi$im$^0_0$Komponente des EFE erhalten wir schließlich:

$$\Delta\phi \approx 4\pi G\rho$$

Wenn wir es stattdessen mit dem unkontrahierten Riemann-Tensor auf der linken Seite versucht hätten, wären wir auf Terme wie gelandet$\partial_i\partial_j \phi$, die nicht auf der linken Seite der Poisson-Gleichung erscheinen. Wenn wir nicht in der Lage wären, die Newtionsche Physik unter einfachen Umständen zu reproduzieren, wäre offensichtlich etwas mit den EFEs nicht in Ordnung.

Man könnte sich natürlich fragen, ob es subtilere Möglichkeiten gibt, die Poisson-Gleichung aus subtileren Gravitationsfeldgleichungen zu reproduzieren, da wir eine quantenkompatible Theorie brauchen (die GR ersetzt). Dies ist Gegenstand aktueller Forschung.