Finden Sie den metrischen Tensor aus der Einstein-Feldgleichung?

Das ist eigentlich ein Kommentar, aber für das Kommentarfeld wurde es etwas lang.

Ich vermute, dass Ihre Erfahrung in Physik, wie ich, aus einem Bereich stammt, in dem das Lösen von Differentialgleichungen ein routinemäßiger Teil der Arbeit ist. Wir sind es gewohnt, ein Problem zu analysieren, eine Differentialgleichung aufzuschreiben, die die Physik zusammenfasst, und sie zu lösen, wenn wir Glück haben, analytisch oder im schlimmsten Fall auf einen Computer zu werfen.

Als ich anfing, mich über GR zu informieren, fiel mir sehr eindringlich auf, dass dies kaum jemals der verwendete Ansatz ist. Die Gleichungen sind so schwierig, dass die Metrik in fast allen Fällen entweder durch ausgeklügelte Verwendung von Symmetrie oder durch einfaches Erraten von Antworten erhalten wird, bis eine passt. Wenn Sie die Ableitung der Schwartzschild-Metrik lesen, die wahrscheinlich die einfachste ist, der die meisten von uns begegnen, erhielt Schwarzschild die Antwort, indem er eine Grundform für die Metrik erriet und dann die hohe Symmetrie verwendete, um alle Möglichkeiten bis auf eine auszuschließen. Kerr scheint als sein Ergebnis durch inspirierte Vermutungen entstanden zu sein (obwohl inspiriert durch enorme Anstrengungen!!).

Das alles fühlt sich für uns Hedge-Physiker irgendwie unbefriedigend an. Es fühlt sich an, als ob allgemeine Relativisten die ganze Zeit schummeln und die Dinge nie so methodisch angehen wie wir. Das ist natürlich ein unfairer Eindruck und aus Unwissenheit entstanden, aber ich wette trotzdem, dass Sie sich so fühlen werden, wenn Sie anfangen, sich mit dem Thema zu beschäftigen.

Wenn Sie anfangen möchten, GR im Zorn zu lernen, dann empfehle ich dringend einen ersten Kurs in allgemeiner Relativitätstheorie von Bernard Schutz. Dies bringt Sie von einem Ausgangspunkt, an dem Sie grundlegende Berechnungen kennen, zu dem Punkt, an dem Sie sich mit grundlegenden GR-Berechnungen wohlfühlen. Beachten Sie jedoch, dass Sie die Einstein-Gleichung auch nach 376 Seiten noch nicht vollständig ausgeschrieben gesehen haben.

Wenn Sie eine Metrik haben, dann haben Sie auch die Mannigfaltigkeit selbst und alle Punkte darin, und Sie können die Metrik verwenden, um den Einstein-Tensor an jedem Punkt zu berechnen und dann mit einer Skalarkonstanten zu multiplizieren, um den Spannungs-Energie-Tensor ( vorausgesetzt, Sie kennen den Wert Ihrer kosmologischen Konstante).

Aber die umgekehrte Richtung ist ganz anders. Wenn Sie beispielsweise mit der Mannigfaltigkeit begonnen haben (aber niemand hat Ihnen die Metrik gegeben, nur den topologischen Raum) und dann an jedem Punkt Ihrer Mannigfaltigkeit einen Spannungs-Energie-Tensor definiert haben, haben Sie bereits eine Menge, seit Sie die Mannigfaltigkeit haben . Dies könnte also zu viele Informationen sein und als Betrug angesehen werden. Es können aber auch zu wenig Informationen sein. Der Spannungs-Energie-Tensor ist der Quellterm, es ist wie im Elektromagnetismus, wenn dir jemand die Ladung und den Strom gibt, das reicht eigentlich nicht, um die Felder zu finden, du brauchst auch Randbedingungen.

Schauen wir uns ein einfaches, aber schwieriges Beispiel an. Ihr Verteiler ist$\mathbb{R}^4$, Ihr Stress-Energie-Tensor ist$T_{\mu \nu}=0$. Es gibt viele mögliche Metriken. Sie könnten eine Metrik haben, die einer Gravitationswelle entspricht, die sich nach links bewegt, eine nach rechts, eine nach oben, eine nach unten, eine vorwärts, eine rückwärts. Oder einfach nur ein leerer flacher Raum ohne Gravitationswellen, die Raumzeit der speziellen Relativitätstheorie. Das ist ganz wie die entsprechende Situation im Elektromagnetismus, wenn es keine Ladung und keinen Strom gibt, Sie könnten keine Felder haben oder Sie könnten eine elektromagnetische Welle haben, die in jede Richtung geht. Es sind einfach nicht genug Informationen.

Das Standardverfahren zum Ermitteln der Komponenten des metrischen Tensors umfasst die folgenden Schritte.

1. Erraten Sie eine Versuchsformel für die dynamische Entwicklung der metrischen Tensorkomponenten ($g_{\mu\nu}$), unter Berücksichtigung der Symmetrien, die Ihr gegebenes System besitzt. Die Versuchsformel sollte genügend unbekannte Parameter enthalten.
2. Berechnen Sie die Verbindungskoeffizienten aus Ihrer Versuchsformel.
3. Berechnen Sie die Komponenten des Riemannschen Krümmungstensors aus den Verbindungskoeffizienten.
4. Berechnen Sie die Komponenten des Einstein-Tensors aus dem Riemann-Tensor.
5. Ersetzen Sie den Einstein-Tensor in der Einstein-Feldgleichung.
6. Indem Sie die Randbedingungen anpassen (die Raumzeit wird im Unendlichen flach) und die unbekannten Parameter finden, die Sie zuvor in Ihrem metrischen Tensor festgelegt hatten.
7. Wenn Sie eine Lösung für den metrischen Tensor finden, die sowohl die Einstein-Gleichung als auch die Randbedingung erfüllt, dann ist die erhaltene Lösung die richtige Lösung. Wenn nicht, ändern Sie die Testversion und wiederholen Sie die obigen Schritte.

Sie sehen, das Verfahren ist stark von (gebildetem) Raten abhängig. Daher kann es nicht auf eine Situation angewendet werden, in der es der Raumzeit an Symmetrie mangelt. Aus diesem Grund haben wir nicht viele analytische Lösungen für Einsteins Gleichung.