Energie-Impuls-Tensor und kovariante Ableitung

Question

Energie-Impuls-Tensor und kovariante Ableitung

Bulkilol

In der Feldtheorie wird der Energieimpuls als funktionale Ableitung nach der Metrik definiert

T_{μ v} = \frac{2}{\sqrt{- G}} \frac{δ S}{δ G^{μ v}}

$T_{\mu\nu}=\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S}{\delta g^{\mu\nu}}$

(bis zu einem Vorzeichen je nach Konvention) Für eine Theorie im flachen Raum hat dies den Vorteil, dass Sie direkt einen verbesserten Energie-Impuls-Tensor erhalten, da die Metrik symmetrisch ist, aber es gilt auch für dynamische Metriken.

Nun, mein Problem ist folgendes: Wenn Sie in Ihrem Lagrange einen Begriff wie $A^{\mu\nu}\nabla_\mu V^\mu$ , Wo $V^\mu$ ist ein Vektorfeld (muss kein Eichfeld sein, z. B. repräsentiert es die Geschwindigkeit in der Hydrodynamik) und $A^{\mu\nu}$ ein willkürlicher Tensor a priori abhängig von irgendetwas (Metrik, $V$ , oder jedes andere Feld), haben Sie ein Christoffel-Symbol. Wenn Sie ein funktionales Derivat nehmen, enthält der Ausdruck Begriffe wie

$\frac{\delta \Gamma^\rho_{\mu\nu}(x)}{\delta g^{\alpha\beta}(y)}\supset g^{\rho\sigma} \partial_\mu(g_{\nu\alpha}g_{\sigma\beta}\delta(x-y))$ +Permutationen

Diese Begriffe werden nicht wieder kombiniert, um ein Christoffel-Symbol zu bilden. Wie kann man die funktionale Ableitung von etwas Kovariantem nehmen ( $\nabla V$ ) in Bezug auf etwas Kovariantes (die Metrik) und am Ende etwas nicht Kovariantes? Für Fälle mit flachem Raum ist alles in Ordnung, da diese Terme verschwinden, aber für gekrümmten Raum verlieren wir die allgemeine Kovarianz/Diff-Invarianz. Was fehlt mir hier?

Alexander Nelson

Also,

g^{μ ν} \nabla_{μ} V_{ν}

$g^{\mu\nu}\nabla_{\mu}V_{\nu}$ sieht aus wie ein Grenzterm, also würde es nicht zu einem Lagrange beitragen. Dies ist eine dumme Nebensache, aber vielleicht

\nabla_{μ} V_{ν} \nabla^{μ} V^{ν}

$\nabla_{\mu}V_{\nu}\nabla^{\mu}V^{\nu}$ wäre besser...

Bulkilol

ja, ich dachte an eine Ableitung eines Vektors, der in der Aktion auftaucht. Ich habe bearbeitet

Prahar

Beachten Sie, dass

δ Γ_{μ ν}^{λ}

$\delta \Gamma^\lambda_{\mu\nu}$ ist Tensor. Genau

δ Γ_{μ ν}^{λ} = \frac{1}{2} g^{λ ρ} (\nabla_{μ} δ g_{ρ ν} + \nabla_{ν} δ g_{μ ρ} - \nabla_{ρ} δ g_{μ ν})

$\delta \Gamma^\lambda_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\lambda \rho} \left( \nabla_\mu \delta g_{\rho \nu} + \nabla_\nu \delta g_{\mu \rho} - \nabla_\rho\delta g_{\mu\nu } \right)$ .

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Energie-Impuls-Tensor und kovariante Ableitung

Also, $g^{\mu\nu}\nabla_{\mu}V_{\nu}$ sieht aus wie ein Grenzterm, also würde es nicht zu einem Lagrange beitragen. Dies ist eine dumme Nebensache, aber vielleicht $\nabla_{\mu}V_{\nu}\nabla^{\mu}V^{\nu}$ wäre besser...
ja, ich dachte an eine Ableitung eines Vektors, der in der Aktion auftaucht. Ich habe bearbeitet
Beachten Sie, dass $\delta \Gamma^\lambda_{\mu\nu}$ ist Tensor. Genau $\delta \Gamma^\lambda_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\lambda \rho} \left( \nabla_\mu \delta g_{\rho \nu} + \nabla_\nu \delta g_{\mu \rho} - \nabla_\rho\delta g_{\mu\nu } \right)$ .

Bulkilol · Answer 1

@Prahar hat Recht, die Variation des Christoffel-Symbols ist ein Tensor, auch wenn der Christoffel selbst dies nicht ist. Wir haben

$\delta \Gamma^\rho_{\mu\nu}=\frac{1}{2}\delta\bigg(g^{\rho\alpha}(2\partial_{(\mu}g_{\nu)\alpha}-\partial_\alpha g_{\mu\nu})\bigg)=\frac{1}{2}\delta g^{\rho\alpha}(2\partial_{(\mu}g_{\nu)\alpha}-\partial_\alpha g_{\mu\nu})+ \frac{1}{2}g^{\rho\alpha}(2\partial_{(\mu}\delta g_{\nu)\alpha}-\partial_\alpha \delta g_{\mu\nu})$

Wo $A_{(\mu\nu)}=\frac{1}{2}(A_{\mu\nu}+A_{\nu\mu})$ . Verwenden $\delta g^{\rho\alpha}=-g^{\rho\gamma}g^{\alpha\delta}\delta g_{\gamma\delta}$ wir haben:

$\delta \Gamma^\rho_{\mu\nu}=\frac{1}{2}g^{\rho\alpha}(2\partial_{(\mu}\delta g_{\nu)\alpha}-\partial_\alpha \delta g_{\mu\nu}-2\Gamma_{\mu\nu}^\beta\delta g_{\alpha\beta})$

Der Christoffel lässt sich dann gut mit der Standardableitung kombinieren, um einen kovarianten Tensor zu ergeben (die anderen Christoffel-Symbole heben sich gegenseitig auf).

$\delta \Gamma^\rho_{\mu\nu}=\frac{1}{2}g^{\rho\alpha}(2\nabla_{(\mu}\delta g_{\nu)\alpha}-\nabla_\alpha \delta g_{\mu\nu})$ .

Um die ursprüngliche Frage zu beantworten, haben wir endlich:

$\nabla_\mu V_\nu=\nabla_\mu \delta V_\nu-\frac{1}{2}g^{\rho\alpha}(2\nabla_{(\mu}\delta g_{\nu)\alpha}-\nabla_\alpha \delta g_{\mu\nu})A_\rho$

Denken Sie daran, dass wir nichts davon ausgegangen sind $V_\mu$ . Je nach Problemstellung ist es dann möglich, Teile zu integrieren, um sie zu isolieren $\delta g_{\mu\nu}$ und erhalten den Energie-Impuls-Tensor.

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Bulkilol

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Bulkilol

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