Eine Frage zu f(R)f(R)f(R) Lagrangians

Question

Eine Frage zu f(R)f(R)f(R) Lagrangians

Joseph Dewney

Betrachten Sie die Klasse der Lagrangian, die als bekannt ist $f(R)$ Lagrange, wobei der Lagrange eine Funktion hat $f(R)$ ,

S = \int \sqrt{G} D^{4} X F (R)

$\begin{equation} S=\int\sqrt{g}d^4x\ f(R) \end{equation}$ Unter der Annahme, dass es keine (oder Ignorieren) von Randbedingungen gibt, findet man

δ S = \int \sqrt{G} D^{4} X (- \frac{1}{2} G_{μ v} F (R) + F^{'} (R) R_{μ v} - (\nabla_{μ} \nabla_{v} - G_{μ v} ◻) F^{'} (R)) δ G^{μ v} .

$\begin{equation} \delta S=\int\sqrt{g}d^4x\left(-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}f(R)+f'(R)R_{\mu\nu}-\left(\nabla_\mu\nabla_\nu-g_{\mu\nu}\Box\right)f'(R)\right)\delta g^{\mu\nu}. \end{equation}$ Vermuten

f (R) = g^{\frac{1}{4}} R

$f(R)=g^\frac{1}{4}R$ .

Gibt es eine Möglichkeit, die kovariante Ableitung von zu definieren? $g^\frac{1}{4}$ ?
Ist $f(R)=g^\frac{1}{4}R$ eine gültige Wahl?

Slereah

Inwiefern ist das ein Problem?

QMechaniker

Kommentar zum Beitrag (v1): Auswahl zB

f (R) = g^{\frac{1}{4}} R

$f(R)=g^{\frac{1}{4}}R$ wäre keine geometrisch kovariante Theorie, weil

f (R)

$f(R)$ nicht mehr als Skalar transformieren würde, dh die Wirkung würde von der Wahl der Koordinaten abhängen.

Kyle Kanos

Mehr dazu

f (R)

$f(R)$ Schwerkraft , möglicherweise am relevantesten (was nicht in dieser Suche enthalten ist), ist diese Frage .

Kyle Kanos

Wenn Sie noch etwas länger darüber nachdenken, was ist hier die eigentliche Frage?

Joseph Dewney

Okay. Ich schreibe es deutlicher.

JamalS

Würde nicht

\nabla_{a} g^{1 / 4} = \partial_{a} g^{1 / 4}

$\nabla_a g^{1/4} = \partial_a g^{1/4}$ ?

Sebastian Riese

Außerdem,

f (R) = g^{1 / 4} R

$f(R) = g^{1/4}R$ ist keine Funktion von

R

$R$ (aber eine Funktion von

R

$R$ Und

g

$g$ ),

f (R) = R^{2}

$f(R) = R^2$ oder

f (R) = \sin (R)

$f(R) = \sin(R)$ sind Funktionen von

R

$R$ .

Ryan Unger

@JamalS Nein, seit

g^{1 / 4}

$g^{1/4}$ ist kein Skalar.

Antworten (1)

Eine Frage zu f(R)f(R)f(R) Lagrangians

Kommentar zum Beitrag (v1): Auswahl zB $f(R)=g^{\frac{1}{4}}R$ wäre keine geometrisch kovariante Theorie, weil $f(R)$ nicht mehr als Skalar transformieren würde, dh die Wirkung würde von der Wahl der Koordinaten abhängen.
Mehr dazu $f(R)$ Schwerkraft , möglicherweise am relevantesten (was nicht in dieser Suche enthalten ist), ist diese Frage .
Wenn Sie noch etwas länger darüber nachdenken, was ist hier die eigentliche Frage?
Außerdem, $f(R) = g^{1/4}R$ ist keine Funktion von $R$ (aber eine Funktion von $R$ Und $g$ ), $f(R) = R^2$ oder $f(R) = \sin(R)$ sind Funktionen von $R$ .

QMechaniker · Answer 1

Kommentare zur Frage (v2):

Vorausgesetzt, die Verbindung $\nabla$ kompatibel ist $^1$ mit der Metrik $\nabla_{\lambda}g_{\mu\nu}=0$ , Dann $\nabla_{\lambda}\det g_{\mu\nu}=0$ , und daher z $\nabla_{\lambda}\left|\det g_{\mu\nu}\right|^{\frac{1}{4}}=0$ .
Auswahl zB $f(R)=\left|\det g_{\mu\nu}\right|^{\frac{1}{4}}R$ wäre keine geometrisch kovariante Theorie, weil $f(R)$ nicht mehr als Skalar transformieren würde, dh die Wirkung würde von der Wahl der Koordinaten abhängen.

--

$^1$ Die Levi-Civita-Verbindung ist mit der Metrik kompatibel.

Vielleicht wäre dies ein guter Ort, um zu erwähnen, wie die Levi-Civita-Verbindung auf (skalare) Dichten wirkt.

Eine Frage zu f(R)f(R)f(R) Lagrangians

Joseph Dewney

Slereah

QMechaniker

Kyle Kanos

Kyle Kanos

Joseph Dewney

JamalS

Sebastian Riese

Ryan Unger

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QMechaniker

Ryan Unger

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