Schritt-für-Schritt-Algorithmus zum Lösen von Einsteins Gleichungen

Question

Schritt-für-Schritt-Algorithmus zum Lösen von Einsteins Gleichungen

xaxa

Ich kann nicht vollständig verstehen, was eine reguläre Methode zum Lösen von Einsteins Gleichungen in GR ist, wenn es keine praktischen Hinweise wie sphärische Symmetrie oder Zeitunabhängigkeit gibt.

ZB wie kann man ausgehend von beliebigen Koordinaten die Schwarzschild-Metrik ableiten $x^0, x^1, x^2, x^3$ ? Ich verstehe in einem solchen Fall nicht einmal die Stress-Energie-Tensorform - offensichtlich sollte sie proportional zu sein $\delta(x - x_0(s))$ , Wo $x_0(s)$ ist die Weltlinie eines parametrisierten Partikels, aber wenn die Metrik im Voraus unbekannt ist , wie bekomme ich sie $x_0(s)$ ohne a priori Annahmen?

Torsten Hĕrculĕ Cärlemän

Es gibt die Störungsmethode, die zur schwachen Feldmetrik führt.

xaxa

@TorstenHĕrculĕCärlemän, was tun, wenn das Feld nicht schwach ist?

Torsten Hĕrculĕ Cärlemän

Nun, man kann sich die Feldgleichungen immer als System partieller Differentialgleichungen vorstellen und numerisch lösen. Natürlich gäbe es Vereinfachungen wie die Bianchi-Identites usw.

xaxa

Das ist, was ich nicht verstehe - zB ein System aus zwei Punktmassen - wie schreibe ich den Spannungs-Energie-Tensor auf?

Selene Rouley

Nicht mein Gebiet, aber ich glaube, dass "Singularitäten" wie Punktmassen durch analytische Lösungen (Schwartzschild usw.) in der Nähe der Masse ersetzt werden und die numerische Simulation in der diskretisierten Raumzeit außerhalb dieser Region durchgeführt wird: Die analytische Lösung setzt die Randbedingungen auf die gewählte Begrenzungsfläche, die die Masse "ausschneidet".

Benutzer23660

Betrachten Sie den ADM-Formalismus für eine 3+1-Zerlegung mit expliziter Cauchy-Problemformulierung/Evolutionsgleichungen für die Metrik. Eine für numerische Berechnungen besser geeignete Version heißt BSSN-Formalismus .

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Schritt-für-Schritt-Algorithmus zum Lösen von Einsteins Gleichungen

Es gibt die Störungsmethode, die zur schwachen Feldmetrik führt.
@TorstenHĕrculĕCärlemän, was tun, wenn das Feld nicht schwach ist?
Nun, man kann sich die Feldgleichungen immer als System partieller Differentialgleichungen vorstellen und numerisch lösen. Natürlich gäbe es Vereinfachungen wie die Bianchi-Identites usw.
Das ist, was ich nicht verstehe - zB ein System aus zwei Punktmassen - wie schreibe ich den Spannungs-Energie-Tensor auf?
Nicht mein Gebiet, aber ich glaube, dass "Singularitäten" wie Punktmassen durch analytische Lösungen (Schwartzschild usw.) in der Nähe der Masse ersetzt werden und die numerische Simulation in der diskretisierten Raumzeit außerhalb dieser Region durchgeführt wird: Die analytische Lösung setzt die Randbedingungen auf die gewählte Begrenzungsfläche, die die Masse "ausschneidet".
Betrachten Sie den ADM-Formalismus für eine 3+1-Zerlegung mit expliziter Cauchy-Problemformulierung/Evolutionsgleichungen für die Metrik. Eine für numerische Berechnungen besser geeignete Version heißt BSSN-Formalismus .

Lubos Motl · Answer 1

Lubos Motl

Erstens gibt es keinen mechanischen Algorithmus zum Lösen einer allgemeinen Differentialgleichung. Einsteins Gleichungen sind offensichtlich keine Ausnahme – tatsächlich gehören sie zu den komplizierteren und weniger "lösbaren" Gleichungen unter denen, die man lernen kann. Analytisch schreibbare Lösungen existieren nur in sehr speziellen, einfachen und/oder symmetrischen Fällen (genügend einfache Gleichungen, die einfache physikalische Situationen beschreiben).

Zweitens bestimmen Einsteins Gleichungen die Metrik nicht eindeutig. Auch bei wohldefinierten Anfangs-/Randbedingungen bestimmen sie nur die Lösung (metrisches Tensorfeld) bis auf eine allgemeine Koordinatentransformation (die durch 4 Funktionen bestimmt werden kann $X^\mu(x^\nu)$ der alten Koordinaten). Das bedeutet, dass von den 10 Komponenten des symmetrischen metrischen Tensors nur 6 Funktionen wirklich unabhängig physikalisch sind. Wenn wir dem metrischen Tensorfeld 4 "Eichfestlegungs"-Bedingungen auferlegen, definieren wir effektiv die "richtigen" Koordinaten und wir haben 6 unabhängige Gleichungen für die verbleibenden 6 Funktionen, die den metrischen Tensor als Funktion der Koordinaten bestimmen. Einsteins Gleichungen sind oberflächlich gesehen 10 Gleichungen, aber 4 davon (genauer gesagt 4 Gleichungen, die aus den Ableitungen dieser Gleichungen und den Gleichungen selbst konstruiert sind), die kovariante Divergenz $\nabla_\mu (G^{\mu\nu} - K\cdot T_{\mu\nu})=0$ , werden identisch befolgt, sodass sie die Metrik nicht einschränken.

Drittens kann die allgemeine Relativitätstheorie auch Punktmassen enthalten, die punktförmigen Quellen des Gravitationsfeldes, die dem metrischen Tensor tatsächlich eine Art Delta-Funktion hinzufügen. Wenn dem so ist, dann ist die Allgemeine Relativitätstheorie ein gekoppeltes System aus wechselseitig wechselwirkenden partiellen Einsteinschen Differentialgleichungen und gewöhnlichen Differentialgleichungen für die Weltlinien, die zB durch parametrisiert werden können $t(x^i)$ oder auf andere Weise (z. B. unter Verwendung eines Hilfszeitparameters entlang der Weltlinie – was erfordert, dass wir uns mit einer eindimensionalen Koordinatentransformationsredundanz analog zu der vierdimensionalen oben befassen). Alternativ kann Materie durch elektromagnetische, Klein-Gordon-, Dirac- und andere Felder beschrieben werden. In diesem Fall handelt es sich um ein gekoppeltes System vieler partieller Differentialgleichungen – Einstein-Gleichungen plus Maxwell-Gleichungen plus Dirac-Gleichung(en) und Klein-Gordon-Gleichung(en) mit verschiedenen Quelltermen.

xaxa

Ich erwarte keine analytische Lösung - ich verstehe nicht ganz, wie ich das Problem so formulieren soll, dass es ein vollständiges Gleichungssystem + Randbedingungen wäre. Nachdem Sie 4 Beschränkungen ausgewählt haben

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ wie gehe ich vor, um koordinaten mit zu verbinden

T_{μ ν}

$T_{\mu\nu}$ ?

Lubos Motl

Liebe xaxa,

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ Und

R_{μ ν}

$R_{\mu\nu}$ Und

T_{μ ν}

$T_{\mu\nu}$ sind nur Tensoren, dh Pakete von 10 Funktionen der vier Koordinaten

x^{λ}

$x^\lambda$ ; die Krümmungstensoren werden in Form des metrischen Tensors und ihrer Ableitungen unter Verwendung der Standardformeln ausgedrückt. Einsteins Gleichungen sind also Sätze von partiellen Differentialgleichungen wie jeder andere Satz. Da die Tensoren Sammlungen von Funktionen von Koordinaten sind, sind sie mit den Koordinaten "verbunden" - jede andere "Verbindung", an die Sie denken, bedeutet wahrscheinlich, dass Sie das Konzept einer Differentialgleichung nicht verstehen.

xaxa

Das ist alles sehr gut, aber wenn die Bedeutung der Koordinaten unbekannt ist, wie finde ich sie

T_{μ ν} (x)

$T_{\mu\nu}(x)$ ? Dies ist eine Frage der Verbindung zwischen Physik und Mathematik. Zum Beispiel in Schwarzschild-Koordinaten

r

$r$ ist "Entfernung", wird aber unter dem Horizont zu "Zeit". Die anfängliche physikalische Aussage , dass Punktteilchen im Ursprung ruhen, ist also eigentlich nicht richtig. Aber in diesem speziellen Fall gibt es ein "leitendes" Prinzip der Kugelsymmetrie. Was ist ein Verfahren im Allgemeinen?

Lubos Motl

Liebe xaxa,

T_{μ ν}

$T_{\mu\nu}$ ist nur ein weiteres Tensorfeld, eine Menge von Funktionen von x. Sie wird im Hinblick auf andere, grundlegendere Freiheitsgrade bestimmt. Für das elektromagnetische Feld wird es mit ausgedrückt

F F

$FF$ Produkte und ähnliches für andere Bereiche. Für idealisierte Punktmassen gilt

T_{μ ν}

$T_{\mu\nu}$ hat die Form der Masse mal der an der richtigen Stelle lokalisierten Delta-Funktion

x^{μ} (τ)

$x^\mu(\tau)$ , usw. Die grundlegenderen Freiheitsgrade wie z

F_{μ ν} (x^{λ})

$F_{\mu\nu}(x^\lambda)$ oder

x^{μ} (τ)

$x^\mu(\tau)$ sind auch Funktionen, die durch die (Newton- oder Maxwell- oder Dirac-analogen) Differentialgleichungen eingeschränkt sind!

Lubos Motl

In Bezug auf Ihr "Beispiel" bedeutet ein "ruhendes" Teilchen - wenn es in Form von Feldern wie einer gekrümmten Geometrie beschrieben wird -, dass die umgebende Geometrie statisch ist und die Schwarzschild-Symmetrie statisch ist (einen Killing-Vektor hat, der zeitähnlich ist bei Unendlichkeit). Man kann auch die Raumzeit um das Teilchen "schneiden" und durch den flachen Raum mit einem äquivalenten Spannungs-Energie-Tensor einer Punktmasse ersetzen, und diese Punktmasse ist dann im speziellen relativistischen Sinne in Ruhe. Solche Behauptungen sind alle korrekt, wenn die richtigen Definitionen gegeben sind. Ich kann andere Beispiele nicht lösen, weil jedes "Beispiel" eine neue Antwort hat.

Lubos Motl

Sie müssen die einfache Sache verstehen – und ich sehe wirklich nicht ein, warum es schwer sein sollte – das

g_{μ ν} (x^{λ})

$g_{\mu\nu}(x^\lambda)$ ,

F_{μ ν} (x^{λ})

$F_{\mu\nu}(x^\lambda)$ ,

X^{μ} (τ)

$X^\mu(\tau)$ usw. sind Funktionen einer Anzahl von Variablen und die Physik sagt Ihnen Differentialgleichungen, denen sie gehorchen müssen. Die Objekte mögen

R_{μ ν} (x^{μ})

$R_{\mu\nu}(x^\mu)$ Und

T_{μ ν} (x^{λ})

$T_{\mu\nu}(x^\lambda)$ werden als die wohlbekannten Funktionen der Felder aus dem vorherigen Satz und ihren Ableitungen ausgedrückt. Um ein Problem zu vervollständigen, muss man auch einige Anfangs- und/oder Randbedingungen für die Felder angeben

g, F, X (τ)

$g,F,X(\tau)$ usw. ab dem ersten Satz.

xaxa

Lieber @Luboš, HNY an dich! Du scheinst meine Frage nicht ganz verstanden zu haben. Ich verstehe, was ein Tensor ist und wie

G_{μ ν}

$G_{\mu\nu}$ ist gebaut aus

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ . Meine Frage bezieht sich eher auf die Abhängigkeit von

T_{μ ν}

$T_{\mu\nu}$ An

x

$x$ . Auch wenn wir ein reines EM-Feld haben, also das

T

$T$ ist konstruiert aus

F

$F$ , noch irgendwo gibt es Strömungen

j

$j$ und/oder Randbedingungen. Beispielaufgabe: Zwei Drähte sind durch Abstand getrennt

a

$a$ und Konstantstrom

j_{0}

$j_0$ schwebt durch sie hindurch. Frage: finde grav. Feld.

xaxa

Sol: Wenn ich mich in einem beliebigen Koordinatensystem befinde, woher weiß ich, was Entfernung ist?

a

$a$ ? Ist es

Δ x^{1}

$\Delta x^1$ oder

Δ x^{2}

$\Delta x^2$ oder

\sqrt{(Δ x^{1})^{2} + (Δ x^{3})^{2}}

$\sqrt{(\Delta x^1)^2 + (\Delta x^3)^2}$ ? Ok, sagst du - wähle

x

$x$ damit es wäre

Δ x_{1}

$\Delta x_1$ . Dies funktioniert jedoch nur, wenn zwei Drähte vorhanden sind. Was ist, wenn ich eine Million Drähte habe? Es gibt nur 4 Koordinaten ... Um die Entfernung zu berechnen, die von einem Lichtstrahl (oder was auch immer) gemessen wird, muss ich es wissen

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ im voraus . Diese Art von Problem scheint also mit den Lösungen verwechselt zu sein. Wie kann ich sicher sein, dass jedes dieser Probleme lösbar ist? Wie kann ich schreiben

T_{μ ν}

$T_{\mu\nu}$ ?

Lubos Motl

Liebe @xaxa, du bist es, der über die Menge spricht

a

$a$ , also sollten Sie wissen, wie es definiert ist! Du meinst wahrscheinlich eine richtige Länge,

min \int d s

$\min\int ds$ , zwischen zwei Drähten, nicht wahr? Aber ein wichtigerer Punkt ist, dass man nirgendwo beliebige Drähte haben kann. Wie ich geschrieben habe, wird die Position jedes Drahtstücks auch durch Newton-ähnliche dynamische (Differential-) Gleichungen eingeschränkt! Dasselbe gilt für Orte und Geschwindigkeiten von Ladungen und alle anderen ähnlichen Dinge.

Lubos Motl

Insbesondere das Tensorfeld

T_{μ ν}

$T_{\mu\nu}$ können nicht beliebig eingefügt werden. Wie ich auch geschrieben habe, muss aus einer konsistenten Theorie der „Materie“ gerechnet werden, was garantiert ist

\nabla_{μ} T^{μ ν} = 0

$\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$ weil die gleiche Gleichung unabhängig von der Konfiguration des metrischen Tensorfeldes identisch für den Einstein-Tensor gilt

G_{μ ν}

$G_{\mu\nu}$ ! Sie erhalten einen kovariant konservierten Spannungs-Energie-Tensor aus Maxwells Gleichungen im Hintergrund und aus anderen "vollständigen Theorien", aber Sie können Einsteins Gleichungen einfach nicht mit "irgendeinem" Feld auferlegen

T_{μ ν} (x^{λ})

$T_{\mu\nu}(x^\lambda)$ .

Lubos Motl

Dies ist völlig analog zum Nicht-Gravitationsfall der Maxwellschen Gleichungen.

\partial_{μ} F^{μ ν} = j^{ν}

$\partial_\mu F^{\mu\nu}=j^\nu$ darf nur verhängt werden

j

$j$ gehorchen

\partial_{μ} j^{μ} = 0

$\partial_\mu j^\mu=0$ , für einen lokal erhaltenen Strom, da diese Identität durch Differenzieren der Maxwell-Gleichungen mit abgeleitet werden kann

F

$F$ mit

\partial_{ν}

$\partial_\nu$ .

Schritt-für-Schritt-Algorithmus zum Lösen von Einsteins Gleichungen

xaxa

Torsten Hĕrculĕ Cärlemän

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Selene Rouley

Benutzer23660

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Energie-Impuls-Tensor und kovariante Ableitung

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