Spannungs-Energie-Tensor und Abhängigkeit vom Koordinatensystem in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Ich habe die "Box"-Analogie nie gemocht.

Anstatt darüber nachzudenken$T_{ab}$, an die ich gerne denke$T_{a}{}^{b}$, das Vektoren auf Vektoren abbildet. Stellen Sie sich nun vor, Sie untersuchen diesen Tensor mit zwei Vektoren, einem zeitähnlichen$u^{a}$, und ein raumartiges$s^{a}$.

Dann der Vektor:

$$u^{a}T_{a}{}^{b}$$

beschreibt die Energie-Impuls-Dichte, die durch die Raumzeit fließt, während der Vektor

$$s^{a}T_{a}{}^{b}$$

beschreibt den Druckfluss, der durch die Raumzeit fließt (beachten Sie, dass die Zeitkomponente davon Impuls sein wird, aber das ist vernünftig, weil

$$\nabla_{b}\left(s^{a}T_{a}{}^{b}\right)=0 \rightarrow {\dot {\vec p}} = {\vec \nabla} \cdot {P_{ij}}$$

(Entschuldigen Sie den Indexmissbrauch in dieser heuristischen Diskussion), was aus der gewöhnlichen Strömungsmechanik Sinn ergibt.)

Der Grund, warum ich diese Interpretation bevorzuge, ist, dass sie die Verbindung mit der gewöhnlichen klassischen Mechanik viel klarer macht und viel konsistenter damit ist, wie Menschen tatsächlich Stress-Energie-Tensoren aufbauen, wenn sie versuchen, einen IVBP für Einsteins Gleichung aufzustellen.

Sie müssen zwischen dem Konzept eines Tensors und seiner Darstellung in einem bestimmten Koordinatensystem unterscheiden.

Das Konzept eines Spannungstensors ist eine (lineare) Transformation zwischen einem infinitesimalen Element einer Oberfläche (definiert durch seine Normalenrichtung) und den Kräften, die auf den Körper wirken, wenn er an dieser Oberfläche geschnitten würde. Diese Transformation liefert das richtige Ergebnis für jedes mögliche Oberflächenelement an einem bestimmten Punkt, was auch immer seine Normalenrichtung sein mag, und ist unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems. Tatsächlich muss es koordinatensystemunabhängig sein, denn die "Gesetze der Physik" kümmern sich nicht darum, welches Koordinatensystem Sie verwenden, um sie zu beschreiben!

Andererseits hängt die Darstellung eines Tensors (z. B. als Array von Zahlen) von der Wahl des Koordinatensystems ab, und um etwas in einer bestimmten physikalischen Situation zu berechnen, sind normalerweise einige Wahlen des Koordinatensystems viel einfacher zu handhaben mit als andere. Beispielsweise kann eine gute Wahl des Koordinatensystems einige der numerischen Koeffizienten gleich Null machen und/oder eine gewisse Symmetrie der physikalischen Situation auf bequeme Weise erfassen.

Es gibt keinen besonderen Grund, warum das Koordinatensystem ein "rechteckiges Kästchen" darstellen muss - obwohl es oft bequem ist, diese Wahl zu treffen, da jedes Paar von normalisierten Basisvektoren$\vec e_i$Und$\vec e_j$dann befriedigen$\vec e_i \cdot \vec e_j = \delta_{ij}$.