Variation der Christoffel-Symbole bezüglich gμνgμνg^{\mu\nu}

Ich versuche, die Feldgleichungen für einen bestimmten Lagrange zu finden. In der Mitte stand ich vor dem Begriff

$$\frac{\delta \Gamma_{\beta\gamma}^{\alpha}}{\delta g^{\mu\nu}} \, .$$

ich weiß das

$$\delta \Gamma_{\beta\gamma}^{\alpha} = \frac{1}{2}g^{\sigma\alpha}(\nabla_{\beta}(\delta g_{\sigma\gamma}) + \nabla_{\gamma}(\delta g_{\sigma\beta}) - \nabla_{\sigma}(\delta g_{\beta\gamma})) \, .$$

Ich habe zwei Fragen:

1. Ist der Ausdruck für$\delta \Gamma_{\beta\gamma}^{\alpha}$irgendwie verwandt$\frac{\delta \Gamma_{\beta\gamma}^{\alpha}}{\delta g^{\mu\nu}}$?

2. Die Idee am Ende ist, Begriffe wie zu haben

   $$\frac{\delta \mathcal{L}}{\delta g^{\alpha\beta}} = 0$$ und machen so die Variation der Aktion invariant unter$\delta g^{\alpha\beta}$. Also in einfachen Worten, gibt es eine Möglichkeit, den Begriff zu haben?$\delta g^{\alpha\beta}$setzen der Variation des Christoffel-Symbols?