Metrische Feldgleichungen für die Jordan-Brans-Dicke-Aktion

Question

Metrische Feldgleichungen für die Jordan-Brans-Dicke-Aktion

Physik
Metrik-Tensor
modifizierte Schwerkraft
generelle Relativität
lagrangescher Formalismus
Variationsrechnung

MicrosoftBruh

In Anbetracht der Jordan-Brans-Dicke-Aktion:

S = \int D^{4} X \sqrt{- G} (ϕ R + \frac{ω}{ϕ} (\partial ϕ)^{2} + L_{M} (ψ)) .

$S=\int d^4x\sqrt{-g}\left(\phi R+\frac\omega\phi(\partial\phi)^2+\mathfrak{L_{m}}(\psi)\right).$

Ich habe versucht, die Metrikfeldgleichungen durch Variieren der Metrik zu erhalten, und habe Folgendes erhalten:

- \frac{1}{2} G_{μ v} R + R_{μ v} + \frac{ω}{ϕ^{2}} [- \frac{1}{2} G_{μ v} (\partial ϕ)^{2} + \partial_{μ} ϕ \partial_{v} ϕ] - \frac{1}{2 ϕ} G_{μ v} L_{M} (ψ) = 0

$-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R+R_{\mu\nu}+\frac{\omega}{\phi^2}[-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}(\partial\phi)^2+\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi]-\frac{1}{2\phi}g_{\mu\nu}\mathfrak{L_{m}}(\psi)=0$

Ich habe die Begriffe variiert $\sqrt{-g}$ , $R_{\mu\nu}$ , $g^{\mu\nu}$ Und $\partial_\mu \phi \partial_\nu \phi g^{\mu\nu}$ . Wenn es nur um die Gleichungen des metrischen Feldes geht, ist das richtig? Wenn ich die Gleichungen für das Gravitationsfeld haben wollte, müssten wir die Metrik und das Feld variieren $\phi$ Rechts?

BEARBEITEN: Bei der 2. Leibniz-Regel habe ich Folgendes berücksichtigt:

- \nabla^{a} \nabla_{a} (G_{μ v} ϕ δ G^{μ v}) = - G_{μ v} \nabla^{a} \nabla_{a} (ϕ) δ G^{μ v} - G_{μ v} \nabla^{a} (ϕ) \nabla_{a} (δ G^{μ v}) - G_{μ v} \nabla_{a} (ϕ) \nabla^{a} (δ G^{μ v}) - G_{μ v} ϕ \nabla^{a} \nabla_{a} (δ G^{μ v})

$-\nabla^{\alpha}\nabla_{\alpha}(g_{\mu\nu}\phi\delta g^{\mu\nu}) = -g_{\mu\nu}\nabla^{\alpha}\nabla_{\alpha}(\phi) \delta g^{\mu\nu}-g_{\mu\nu}\nabla^{\alpha} (\phi)\nabla_{\alpha}(\delta g^{\mu\nu})-g_{\mu\nu}\nabla_{\alpha} (\phi)\nabla^{\alpha}( \delta g^{\mu\nu})-g_{\mu\nu} \phi \nabla^{\alpha}\nabla_{\alpha}(\delta g^{\mu\nu})$

Ich habe die Metrik herausgezogen, damit ich mich nicht mit 6 Begriffen befassen muss. Diejenigen, die wir wollen, sind nur die ersten und zweiten in der rechten Seite dieser Gleichung

Niemand

Was ist mit dem Begriff /phi R passiert??

MicrosoftBruh

Ich habe die ganze Gleichung durch dividiert

ϕ

$\phi$ und das wäre der erste Begriff, der erscheint

Niemand

Das ist falsch. Es muss partiell integriert werden.

Niemand

Sie haben bereits die erste kovariante Ableitung angewendet. Sie müssen es noch einmal mit der anderen kovarianten Ableitung tun.

MicrosoftBruh

Was meinst du? Beides habe ich bereits angewendet. Was verwechsel ich wo?

Niemand

Sie haben beide gleichzeitig angewendet.

MicrosoftBruh

Ich bewarb mich

\nabla_{α}

$\nabla_{\alpha}$ zuerst zu

g_{μ ν} ϕ δ g^{μ ν}

$g_{\mu\nu} \phi \delta g^{\mu\nu}$ und dann

\nabla^{α}

$\nabla^{\alpha}$ zu den 2 Termen, die wir aus der ersten kovarianten Ableitung erhalten, da einer davon die kovariante Ableitung des metrischen Tensors ist, was mir dann 4 Terme gibt.

Niemand

Überprüfen Sie meine Antwort hier, kann helfen: physical.stackexchange.com/questions/128501/…

Antworten (1)

Metrische Feldgleichungen für die Jordan-Brans-Dicke-Aktion

Ich habe die ganze Gleichung durch dividiert $\phi$ und das wäre der erste Begriff, der erscheint
Sie haben bereits die erste kovariante Ableitung angewendet. Sie müssen es noch einmal mit der anderen kovarianten Ableitung tun.
Was meinst du? Beides habe ich bereits angewendet. Was verwechsel ich wo?
Ich bewarb mich $\nabla_{\alpha}$ zuerst zu $g_{\mu\nu} \phi \delta g^{\mu\nu}$ und dann $\nabla^{\alpha}$ zu den 2 Termen, die wir aus der ersten kovarianten Ableitung erhalten, da einer davon die kovariante Ableitung des metrischen Tensors ist, was mir dann 4 Terme gibt.
Überprüfen Sie meine Antwort hier, kann helfen: physical.stackexchange.com/questions/128501/…

Niemand · Answer 1

Der $\delta(\phi R)$ Begriff wird sein:

δ (ϕ R) = δ (ϕ G^{μ v} R_{μ v}) = ϕ δ G^{μ v} R_{μ v} + ϕ δ R_{μ v} G^{μ v}

$\delta(\phi R) = \delta(\phi g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}) = \phi\delta g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} +\phi\delta R_{\mu\nu}g^{\mu\nu}$

Der Begriff: $\phi\delta g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$ fertig ist, hier ist die Variation des inversen metrischen Tensors bereits ein Multiplikationsfaktor. Nun lautet der zweite Term:

ϕ δ R_{μ v} G^{μ v} = ϕ (G_{μ v} ◻ - \nabla_{μ} \nabla_{v}) δ G^{μ v}

$\phi\delta R_{\mu\nu}g^{\mu\nu} = \phi (g_{\mu\nu}\Box - \nabla_{\mu}\nabla_{\nu})\delta g^{\mu\nu}$

wo ich die Palatini Identity verwendet habe. Nun haben wir zum Beispiel für den Boxterm:

ϕ G_{μ v} ◻ δ G^{μ v} = ϕ G_{μ v} \nabla^{a} \nabla_{a} δ G^{μ v} = \nabla^{a} (ϕ G_{μ v} \nabla_{a} δ G^{μ v}) - \nabla^{a} ϕ G_{μ v} \nabla_{a} δ G^{μ v}

$\phi g_{\mu\nu}\Box\delta g^{\mu\nu} = \phi g_{\mu\nu}\nabla^{\alpha}\nabla_{\alpha}\delta g^{\mu\nu} =\nabla^{\alpha}(\phi g_{\mu\nu}\nabla_{\alpha}\delta g^{\mu\nu}) -\nabla^{\alpha}\phi g_{\mu\nu}\nabla_{\alpha}\delta g^{\mu\nu}$

Der erste Term ist eine totale Ableitung. Wir werden es als Grenzterm ignorieren. Jetzt verwenden wir wieder die Leibniz-Regel:

- \nabla^{a} ϕ G_{μ v} \nabla_{a} δ G^{μ v} = - \nabla^{a} \nabla_{a} (G_{μ v} ϕ δ G^{μ v}) + G_{μ v} δ G^{μ v} \nabla^{a} \nabla_{a} (ϕ)

$-\nabla^{\alpha}\phi g_{\mu\nu}\nabla_{\alpha}\delta g^{\mu\nu} = -\nabla^{\alpha}\nabla_{\alpha}(g_{\mu\nu}\phi\delta g^{\mu\nu}) + g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}\nabla^{\alpha}\nabla_{\alpha}(\phi)$

wo ich metrische Kompatibilität verwendet habe. Also haben wir:

ϕ G_{μ v} ◻ δ G^{μ v} = G_{μ v} δ G^{μ v} \nabla^{a} \nabla_{a} (ϕ) = G_{μ v} δ G^{μ v} ◻ ϕ

$\phi g_{\mu\nu}\Box\delta g^{\mu\nu} = g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}\nabla^{\alpha}\nabla_{\alpha}(\phi) = g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu} \Box \phi$ Dasselbe Verfahren muss man für die beiden kovarianten Ableitungen durchführen. Die anderen Begriffe scheinen richtig zu sein.

Das Problem dabei ist, dass der Ricci Scalar mit gekoppelt ist $\phi$ . Als ich zum ersten Mal auf solche Kopplungsbegriffe stieß, hatte ich das gleiche Problem. Im Kontext der Allgemeinen Relativitätstheorie ist die Aktion:

S = \int D^{4} X \sqrt{- G} R .

$S = \int d^4x \sqrt{-g}R.$

Aus der Variation ergibt sich der Begriff $g^{\mu\nu}\delta R_{\mu\nu}$ . Wir können zeigen, dass dieser Term ein totaler Ableitungsterm ist und ihn kürzen. Im Zusammenhang mit Brans Dicke (oder anderen geometrischen Modifikationen von Einstein Gravity, $f(R)$ zum Beispiel Horndeski oder Materiefelder, die nicht minimal an die Schwerkraft gekoppelt sind) ist dieser Begriff keine völlige Abweichung mehr. Hier lautet dieser Begriff: $\phi\delta R_{\mu\nu}g^{\mu\nu}$ . $\phi$ macht die Sache schwierig, wir können diesen Term jetzt nicht so verwerfen, er ist kein vollständig abgeleiteter Term. Daher folgen wir dem oben beschriebenen Verfahren.

Was den zweiten Teil der Frage betrifft, ja, Sie müssen auch in Bezug auf variieren $\phi$ . Hier $\phi$ ist kein Materiefeld, sondern eine geometrische Größe.

Danke schön! In allen Aktionsvariationen, die ich bisher gemacht habe, war R mit keinem anderen Feld gekoppelt, also mache ich es einfach schnell, indem ich die Palatini-Identität und den Satz von Gauß behaupte und sage, dass es Null ist.
Ich verstehe deine Situation zu 100%. War dort, habe genau das gleiche gemacht.
Nur eine Sache, gibt es nicht a $g_{\mu\nu}$ fehlt in der 4. Gleichung, die Sie im 1. Term der RHS geschrieben haben?
Entschuldigung, könnten Sie näher darauf eingehen, wie Sie die zweite Leibniz-Regel gemacht haben? Ich bekomme 4 Terme, wenn ich die beiden kovarianten Ableitungen für diesen Term verteile: $\nabla^{\alpha} \nabla_{\alpha}(g_{\mu\nu} \phi \delta g^{\mu\nu})$ In Anbetracht der Metrikkompatibilität habe ich die Metrik direkt herausgenommen und die anderen 4 Terme erhalten. Heben sich 2 davon auf?
$\nabla_{\alpha}$ wirkt auf die Variation. Diese Ableitung habe ich vor alle Terme geschoben und subtrahiert $g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}\Box \phi$ (Leibniz-Regel).
Sie müssen den totalen Ableitungsterm in der ersten Leibniz-Regel töten, um fortzufahren.
Ja das habe ich gemacht. Für Ihre erste Leibniz-Regel habe ich den Begriff betrachtet $\nabla^{\alpha}( \phi g_{\mu\nu} \nabla_{\alpha} (\delta g^{\mu\nu}))$ und verteilt die $\nabla^{\alpha}$ auf den 3 Termen und einer von ihnen verschwand wegen der metrischen Kompatibilität und die Neuordnung dieser Gleichung brachte mich zu Ihrer ersten Leibniz-Regel. Ich habe den Term mit der totalen Ableitung ignoriert. Ich habe das gleiche Verfahren mit versucht $\nabla^{\alpha} \nabla_{\alpha} (g_{\mu\nu} \phi \delta g^{\mu\nu})$ aber es gibt zusätzliche Bedingungen
Warum stellst du nicht eine Frage zum Thema, damit dir vielleicht jemand helfen kann?

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