Ableitung der Israel Junction Bedingungen

In Abschnitt 3.1 dieses Papiers wird uns die Aktion gegeben

$$\mathcal{I}= -\frac{1}{16\pi G_D}\left[\int_{\mathcal{M_1}}d^Dx\sqrt{g_1}(R_1-2\Lambda_1)+\int_{\mathcal{M_2}}d^Dx\sqrt{g_2}(R_2-2\Lambda_2)+2\int_Sd^{D-1}y\sqrt{h}(K_1-K_2)-2(D-2)\int_Sd^{D-1}y\sqrt{h}\mathcal{k}\right]$$

Wo$g_1$,$g_2$sind die Metriken von zwei Regionen und$R_1,\Lambda_1$,$R_2,\Lambda_2$sind die Ricci-Krümmung und die kosmologischen Konstanten der beiden Regionen. Dann$h$ist die Metrik auf der Schnittstelle und$K_1,K_2$Dabei sind die extrinsischen Krümmungen der beiden Bereiche an der Grenzfläche$\mathcal{k}$ist der Spannungsparameter der Grenzfläche.

Wenn wir die Aktion variieren, erhalten wir die Einstein-Feldgleichungen aus den ersten beiden Termen (jeder gibt die Bewegungsgleichungen für die jeweilige Region an). Wenn wir die letzten beiden Terme variieren, sollten wir die Beziehung erhalten

$$K_{1ab}-K_{2ab}=\mathcal{k}h_{ab}$$

Wenn ich das versuche, stecke ich fest, wenn ich variiere$\delta K_1$zum Beispiel wo ich einstellen würde

$$\delta K_1 = \delta(K_{1\mu\nu}h^{\mu\nu})= \delta K_{1\mu\nu}h^{\mu\nu}+K_{1\mu\nu}\delta h^{\mu\nu}$$ ab hier versteh ich nicht wie ich mit dem weitermachen soll$\delta K_{1\mu\nu}$Begriff.