Ableitung der 3-Form-Einstein-Gleichung aus der Palatini-Aktion

Ich wurde von einem Studenten nach einem Ableitungsproblem für die 3-Form-Einstein-Gleichung gefragt, die aus der Palatini-Aktion erhalten wurde. Er hat einige Bilder zu dem Buch gepostet, das er gelesen hat.

Ich leite zuerst den Gravitationsteil aus der Platini-Aktion ab, der lautet (zur Vereinfachung betrachte ich die kosmologische Konstante als Null, sodass der Begriff verschwindet$\int\sqrt{-g}d^4x\;2\Lambda=0$)：

$$\begin{align*} S_G&=\frac{1}{2\kappa}\int d^4x\,\sqrt{-g}R\xrightarrow{\epsilon_{IJKL}e^I\wedge e^J\wedge R^{KL}=-2|e|R\,dx^4} \frac{-1}{4\kappa}\int\epsilon_{IJKL}e^I\wedge e^J\wedge R^{KL}=\frac{-1}{4\kappa}\int \text{Tr}(e\wedge e\wedge R)\\ \delta S_G&=\frac{-1}{4\kappa}\delta\int\text{Tr}(e\wedge e\wedge R)=\frac{-1}{2\kappa}\int\text{Tr}(\delta e\wedge e\wedge R)+\frac{-1}{4\kappa}\int\text{Tr}(e\wedge e\wedge\delta R)\\ &(\text{Tr}(\delta e\wedge e\wedge R)+\text{Tr}(e\wedge\delta e\wedge R)=2\text{Tr}(\delta e\wedge e\wedge R)) \end{align*}$$ Diese beiden Teile können wie folgt berechnet werden $$\begin{align*} \int\text{Tr}(\delta e\wedge e\wedge R)&=\int\text{Tr}(e\wedge R\wedge\delta e)=\int\epsilon_{IJKL} e^I\wedge R^{JK}\wedge\delta e^L\\ \int\text{Tr}(e\wedge e\wedge\delta R)&=\int d\text{Tr}(e\wedge e\wedge\delta\omega)-2\int\text{Tr}(De\wedge e\wedge\delta\omega)=-2\int\text{Tr}(\mathscr{T}\wedge e\wedge\delta\omega)\\ &(R=d\omega+\omega\wedge\omega\;,\;De^I=de^I+\omega^I_J\wedge e^J=\mathscr{T}^I) \end{align*}$$ Dann kommen Sie zum Materiefeldteil: $$\begin{align*} \delta S_m&=\int d^4x\,\delta(\sqrt{-g}\mathcal{L}_m)\xrightarrow{-g=-\det(g_{\mu\nu})=\det(e)^2=|e|^2}\int d^4x\,\delta(|e|\mathcal{L}_m) =\int|e|d^4x\,\frac{1}{|e|}\delta(|e|\mathcal{L}_m)\\ &=\int\mathcal{V}\frac{1}{|e|}\delta(|e|\mathcal{L}_m)=\int*\left(\frac{1}{|e|}\delta(|e|\mathcal{L}_m)\right)\\ \\ \frac{1}{|e|}\delta(|e|\mathcal{L}_m)&=\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\sqrt{-g}\mathcal {L}_m)}{\delta g_{\alpha\lambda}}\delta g_{\alpha\lambda}=\left(\frac{\delta\mathcal{L}_m}{\delta g_{\alpha\lambda}}-\frac{1}{2}g^{\alpha\lambda}\mathcal{L}_m\right)\delta g_{\alpha\lambda}=-\frac{1}{2}T^{\alpha\lambda}\delta g_{\alpha\lambda}\\ &=-\frac{1}{2}T^{\alpha\lambda}\eta_{NL}(e^{N}_\alpha +\delta^{\lambda}_\alpha \delta^{L}_{N} e_{\lambda}^{L})\delta e_{\lambda}^{L}=-\frac{1}{2}(T^{\alpha\lambda}e_{\alpha L}+T^{\lambda \lambda}e_{\lambda L})\delta e_{\lambda}^{L}=-T_L^\lambda\delta e_{\lambda}^{L}\\ \\ *(T_L^\lambda\delta e_{\lambda}^{L})&=\frac{|e|}{(4-0)!}T_L^\lambda\delta e_{\lambda}^{L}\epsilon_{\mu\nu\rho\lambda}dx^\mu\wedge dx^\nu\wedge dx^\rho\wedge dx^\lambda=\frac{1}{4}T_L\wedge\delta e^L \end{align*}$$ Obige Ableitung habe ich 4-Form-Voulme und 3-Form-Definition des Energie-Impuls-Tensors verwendet $$\begin{align*} \mathcal{V}&=|e|d^4x=\frac{1}{4!}\epsilon_{IJKL}e^I_\mu e^J_\nu e^K_\rho e^L_\lambda dx^\mu\wedge dx^\nu\wedge dx^\rho\wedge dx^\lambda=\frac{1}{4!}\epsilon_{IJKL} e^I\wedge e^J\wedge e^K\wedge e^L\\ T_L&=|e|T^\lambda_L\eta_\lambda=\frac{|e|}{3!}T^\lambda_L\epsilon_{\mu\nu\rho\lambda}dx^\mu\wedge dx^\nu\wedge dx^\rho\\ \end{align*}$$ Wenn wir innerhalb der Null-Torsions-Raumzeit ( $\mathscr{T}=0$) dann begegnen wir der Einstein-Gleichung in 3-Form: $$\begin{align*} \epsilon_{IJKL} e^I\wedge R^{JK}=\frac{\kappa}{2} T_L \end{align*}$$ Welches ist $4\pi G$Gravitationskoeffizient eher dann $2\pi G$auf dem Buch.

Kann mir jemand sagen, wo ich falsch liege?