Wie findet man den Stress-Energie-Tensor?

Um Ihre erste Frage zu beantworten: Teilchen und Felder sind getrennt. Teilchen sind irreduzible Anregungen von Feldern. Sie können Partikel nur nach dem Quantisieren von Feldern erhalten.

Sie sehen jedoch oft Leute, die Partikel ohne Quantisierung von Feldern verwenden (in der klassischen Mechanik und GTR). Sie müssen verstehen, dass dies ungefähre Modelle sind, die man erhält, indem man annimmt, dass die Energiedichte von Feldern in punktförmigen Teilchen konzentriert ist.

Im Herzen der nicht-quantisierten Physik haben wir kontinuierliche materielle Felder für Photonen, Elektronen, Quarks usw. Diese Felder sind (allgemein Tensorfelder) der Form

$${{\psi}_{(i)}}^{s...u}_{e....g}(x,y,z,t)$$ $(i)$bezeichnet die Art des Feldes (wie Photon, Higgs-Boson usw.). Dazu gehören Skalare, Vektoren, Co-Vektoren, Spinoren usw. Die Lagrange-Dichte $L$ist normalerweise eine Funktion der Komponenten dieser verschiedenen Felder und des metrischen Tensors. Man muss sich auf Beobachtungen und andere Überlegungen (wie Eichsymmetrien) verlassen, um eine Kovariante (Wert, der immer bei einem Ereignis festgelegt wird) Lagrange zu konstruieren. Die „Konfiguration“, von der Sie sprechen, hängt also von all diesen Faktoren ab.

Ihre zweite Frage ist eigentlich viel interessanter. Es werden 2 häufig verwendete SE-Tensoren verwendet. Sie unterscheiden sich durch die Divergenz eines antisymmetrischen Tensors. Dieses Papier: http://authors.library.caltech.edu/19366/1/GoMa1992.pdf diskutiert dies im Detail.

Der erste ist der kanonische SE-Tensor, der als konservierter Strom unter Verwendung des Noether-Theorems aus der Raum-Zeit-Translationsinvarianz der Lagrange-Funktion abgeleitet wird.

Der zweite Tensortyp leitet sich aus Überlegungen zur diffeomorphen Invarianz der Aktion ab. Es heißt Belinfante - Rosenfeld SE-Tensor. Ein Diffeomorphismus ist ein sehr differenzierter und verallgemeinerter Begriff einer Übersetzung. Vektorfeld lassen$X$ein Generator des allgemeinen Diffeomorphismus sein${\phi}^*$und Integrationsvolumen ist$F$.$X$verschwindet nach draußen$F$. Also haben wir

$${\int}_{F}L{\eta}-{\phi}^*(L{\eta}) = 0$$ Daher $${\int}_{F}D_{X}(L{\eta})=0$$ Wo ${\eta}$ist die Volumenform (den Faktor 1/4 habe ich unterdrückt!)

Erweitern wir die RHS, erhalten wir:

$${\int}_{F}D_{X}(L{\eta}) = {\int}_{F}[(\frac{{\partial}L}{{\partial}{{{\psi}_{(i)}}^{s...u}_{e....g}}}-(\frac{{\partial}L}{{\partial}{{{\psi}_{(i)}}^{s...u}_{e....g;c}}})_{;c})D_{X}{{{\psi}_{(i)}}^{s...u}_{e....g}} + \frac{1}{2}T^{ab}D_{X}g_{ab}]{\eta}=0$$

Wie Sie sehen können, ist der erste Term die Euler-Gleichung, die für jede Feldkomponente gleich Null ist, sodass jeder Term im ersten Teil des Integrals verschwindet.

Nun ist ein grundlegendes Ergebnis, das direkt aus der Definition eines Diffeomorphismus abgeleitet werden kann

$$D_{X}g_{ab}= X_{a;b} + X_{b;a}$$

Setzen Sie dies in die obige Formel ein

$${\int}_{F}D_{X}(L{\eta}) = {\int}_{F}((T^{ab}X_a)_{;b}-(T^{ab}_{;b})X_a){\eta}=0$$

Der erste Term kann in ein Flächenintegral am Rand von transformiert werden$F$und verschwindet als$X$verschwindet an der Grenze von$F$. Dies lässt uns mit

$${\int}_{F}D_{X}(L{\eta}) = {\int}_{F}-(T^{ab}_{;b})X_a{\eta}=0$$

Nun muss das obige immer für beliebige gelten$X$, dies ist nur möglich, wenn$(T^{ab}_{;b})=0$.

Dieser Tensor ist immer symmetrisch und eichinvariant, daher ist er in GTR weitaus nützlicher als der kanonische Tensor. Weitere Informationen zu den feinen Unterschieden zwischen den beiden finden Sie in dem oben verlinkten Papier.

Referenzen: Kapitel 3, „Large Scale Structure of Space-Time“ von Hawking und Ellis