Enthält die Einstein-Hilbert-Aktion nur erste Ableitungen der Metrik?

Question

Enthält die Einstein-Hilbert-Aktion nur erste Ableitungen der Metrik?

Kasper

Wir neigen dazu, nur Lagrange-Funktionalitäten zu verwenden, die höchstens eine Funktion der ersten Ableitung des Feldes sind $\mathcal{L} = \mathcal{L}(\phi, \partial_\mu \phi)$ . Für die Allgemeine Relativitätstheorie dürfte das nicht anders sein, da die Einsteinschen Feldgleichungen in der Metrik nur zweiter Ordnung sind. Naiverweise würde man jedoch denken, dass die Lagrange-Funktion in der Einstein-Hilbert-Aktion aufgrund des Vorhandenseins des Ricci-Skalars zweite Ableitungen in der Metrik enthält. Warum ist das kein Thema?

L_{E H} (G_{μ v}, G_{μ v, a}, G_{μ v, a β}) = \sqrt{- G} R

$\mathcal{L}_{EH}(g_{\mu\nu}, g_{\mu\nu,\alpha}, g_{\mu\nu,\alpha\beta}) = \sqrt{-g} R$

Wenn wir die Variation durchführen, stellt sich heraus, dass es keine Rolle spielt. Schreibt den Lagrange als $\sqrt{-g} g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}$ Die Variation enthält drei Terme (von denen die ersten beiden keine Ableitungen der Metrik enthalten), daher

δ S = \int D^{4} X [- \frac{1}{2} \sqrt{- G} G_{μ v} R δ G^{μ v} + \sqrt{- G} R_{μ v} δ G^{μ v} + \sqrt{- G} G^{μ v} δ R_{μ v}]

$\delta S = \int d^4x \left[ - \frac{1}{2} \sqrt{-g} g_{\mu\nu} R \delta g^{\mu\nu} + \sqrt{-g} R_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu} + \sqrt{-g} g^{\mu\nu} \delta R_{\mu\nu} \right]$

Die ersten beiden Terme werden zum Einstein-Tensor kombiniert, sodass nur die Möglichkeit eines Problems im letzten Term besteht. Dies ergibt sich jedoch als totale Ableitung, die wir ignorieren können. Interessanterweise verwendet der Beweis dafür die Palatini-Identität , die anscheinend nicht vom Ausdruck der Christoffel-Symbole unter Verwendung von Ableitungen der Metrik abhängt, sondern nur von ihren allgemeinen Eigenschaften als Verbindung.

Es scheint also, als hätten wir hier Glück gehabt, aber gibt es einen tieferen Grund, warum das geklappt hat?

QMechaniker

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Verrückter Max · Answer 1

Es ist einfacher, es im Formalismus erster Ordnung der Schwerkraft zu demonstrieren, der beide Tetraden umfasst $e$ (was eine Art Quadratwurzel der Metrik ist $g \sim e^2$ , siehe hier für weitere Erklärungen) und die Spin-Verbindung $\omega$ . Es ist erwähnenswert, dass das Wesentliche des Palatini-Ansatzes (auf den in OP angespielt wird) darin besteht, die Metrik und die (affine) Verbindung als unabhängige Variablen zu behandeln. Um es auf den Punkt zu bringen: Der Schlüsselbestandteil des Beweises besteht darin, eine unabhängige Verbindungsvariable einzuführen, sei es eine Spin-Verbindung oder eine affine Verbindung.

Nun die Einzelheiten:

Die Gravitationswirkung kann heuristisch geschrieben werden (wobei man die Details der Lorentz-Indizes und des äußeren Produkts zwischen Differentialformen vergisst) als

S \sim \int e^{2} (D ω + ω^{2}) .

$S \sim \int e^2(d\omega + \omega^2).$

Die Gravitationsgleichungen erhält man, indem man die Wirkung mit variiert $e$ Und $\omega$ unabhängig .

Variiert mit $e$ Erträge

2 e (D ω + ω^{2}) \sim T,

$2e(d\omega + \omega^2) \sim T,$ Wo

T

$T$ ist der Energie-Impuls-Tensor. Die Spinverbindung

ω

$\omega$ wird durch Variieren der Aktion mit bestimmt

ω

$\omega$ was wiederum die Null-Torsions-Bedingung im Falle eines Null-Spin-Stroms von Fermionen ergibt:

D e + e ω = 0.

$de + e\omega =0.$ Deshalb

ω

$\omega$ ist die erste Ableitung von

e

$e$ und metrisch

g \sim e^{2}

$g \sim e^2$

ω \sim D e / e \sim D G / e^{2} .

$\omega \sim de/e \sim dg/e^2.$ Ersetzen Sie das obige in

2 e (D ω + ω^{2}) \sim T

$2e(d\omega + \omega^2) \sim T$ zeigt, dass die Gravitationsfeldgleichung nur Ableitungen zweiter Ordnung enthält.

Zusammenfassend: Da variieren wir die Schwerkraftwirkung mit $e$ beim Halten $\omega$ konstant, die Schwerkraftwirkung $e^2(d\omega + \omega^2)$ und linke Seite der Gravitationsfeldgleichung $2e(d\omega + \omega^2)$ denselben Krümmungs-R-Term teilen

R = D ω + ω^{2},

$R = d\omega + \omega^2,$ ohne weitere Variation der Krümmung

R

$R$ gegen metrisch.

Bedeutet dies, dass der Palatini-Formalismus in gewisser Weise grundlegender ist?
@Kasper, die Tetrade $e$ und Spinverbindung $\omega$ sind unabdingbar für eine wohldefinierte Theorie, die Gravitation mit Fermionen/Spinstrom koppelt. Ich würde die Schwerkraft als begabt betrachten $e$ Und $\omega$ fundamentaler, da eine fundamentale Gravitationstheorie in der Lage sein sollte, Fermionen und Spins zu berücksichtigen.

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Verrückter Max

Kasper

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