Weltlinienwirkung eines Punktteilchens im Gravitationsfeld

Question

Weltlinienwirkung eines Punktteilchens im Gravitationsfeld

Aktion
Physik
Geodäten
generelle Relativität
lagrangescher Formalismus
Variationsprinzip

TaeNyFan

In meinen GR-Vorlesungen zur Ableitung geodätischer Gleichungen über die Extremallänge schrieb mein Dozent, dass die Weltlinienwirkung $S$ eines Punktteilchens mit Masse $m$ wird von gegeben

\begin{matrix} (1) & S = - M \int \sqrt{- G_{a β} {\dot{X}}^{a} {\dot{X}}^{β}} D τ, \end{matrix}

$S=-m\int\sqrt{-g_{\alpha\beta}\dot{x}^\alpha\dot x^\beta}d\tau,\tag{1}$ Wo

\begin{matrix} (2) & \dot{X} (τ) = \frac{D X (τ)}{D τ} . \end{matrix}

$\dot x(\tau)=\frac{dx(\tau)}{d\tau}.\tag{2}$

Woher kommt diese Gleichung? Ich habe aus Wikipedia gelesen, dass die Weltlinienwirkung ein relativistisches Punktteilchen ist

\begin{matrix} (3) & S = - M C^{2} \int D τ, \end{matrix}

$S=-mc^2\int d\tau,\tag{3}$ Wo

τ

$\tau$ ist die richtige Zeit. Hängen diese beiden Gleichungen in irgendeiner Weise zusammen?

Eletie

Wissen Sie, wie sich die richtige Zeit auf die Metrik bezieht? (dh schreiben Sie das Linienelement aus und vergleichen Sie die beiden obigen Integralausdrücke). Beachten Sie auch die Indizes auf Ihrer

x

$x$ Die Bedingungen sollten angehoben, nicht gesenkt werden.

Antworten (1)

Weltlinienwirkung eines Punktteilchens im Gravitationsfeld

Wissen Sie, wie sich die richtige Zeit auf die Metrik bezieht? (dh schreiben Sie das Linienelement aus und vergleichen Sie die beiden obigen Integralausdrücke). Beachten Sie auch die Indizes auf Ihrer $x$ Die Bedingungen sollten angehoben, nicht gesenkt werden.

QMechaniker · Answer 1

Ja, der Hauptpunkt ist die Bogenlänge $^1$

\begin{matrix} (A) & D S = C D τ = \sqrt{- G_{μ v} (X) D X^{μ} D X^{v}} \end{matrix}

$ds~=~cd\tau~=~\sqrt{-g_{\mu\nu}(x) dx^{\mu}dx^{\nu}}\tag{A}$ in der Raumzeit ist die Lichtgeschwindigkeit

c

$c$ mal die richtige Zeit

d τ

$d\tau$ , so dass

\begin{matrix} (B) & C \dot{τ} = \dot{S} = \sqrt{- G_{μ v} (X) {\dot{X}}^{μ} {\dot{X}}^{v}}, \end{matrix}

$c\dot{\tau}~=~\dot{s}~=~\sqrt{-g_{\mu\nu}(x) \dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}},\tag{B}$ wobei Punkt Differenzierung bzgl. der Weltlinien(WL)-Parameter

λ

$\lambda$ (was nicht unbedingt die richtige Zeit ist

τ

$\tau$ ). Die Aktion ist daher

\begin{matrix} (C) & S = M C^{2} Δ τ = M C Δ S = M C \int_{λ_{ich}}^{λ_{F}} D λ \sqrt{- G_{μ v} (X) {\dot{X}}^{μ} {\dot{X}}^{v}}, \end{matrix}

$S~=~ mc^2\Delta \tau~=~ mc\Delta s~=~mc\int_{\lambda_i}^{\lambda_f}\!d\lambda ~\sqrt{-g_{\mu\nu}(x) \dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}}, \tag{C}$ siehe zB diesen Phys.SE-Beitrag und darin enthaltene Links.

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$^1$ In dieser Antwort verwenden wir die $(-,+,+,+)$ Minkowski-Zeichenkonvention.

Weltlinienwirkung eines Punktteilchens im Gravitationsfeld

TaeNyFan

Eletie

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QMechaniker

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