Euler-Lagrange-Gleichung in der Allgemeinen Relativitätstheorie

In der Relativitätstheorie ist die Lagrangedichte eines freien Teilchens

$$\begin{align} \mathcal L=\sqrt{g_{ab}\frac{dx^a}{d\tau}\frac{dx^b}{d\tau}}\end{align}$$ Seit $\mathcal L$ist Parametrisierungsinvariante, die wir immer setzen können $$\mathcal L=1.$$ Wie kann in diesem Fall die Euler-Lagrange-Gleichung

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^\mu}\right) - \frac{\partial L}{\partial x^\mu} &=0 \end{align}$$ Sinn ergeben? Wie kann $\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{x}^\mu}$Und $\frac{\partial \mathcal L}{\partial {x}^\mu}$nicht null sein?