Wann soll eine Größe in einem Lagrange (der geodätischen Gleichung) auf konstant gesetzt werden?

Ich kämpfe schon seit einiger Zeit mit diesem Problem und kann anscheinend nicht verstehen, was ich tun darf oder nicht.

Betrachten wir folgende Aktion:

$$S = \int \sqrt{-g_{\mu\nu}\frac{dx^{\nu}}{|ds|}\frac{dx^{\mu}}{|ds|}}|ds|$$

Nun möchte ich zeigen, dass dies die berühmte geodätische Gleichung ergibt, wenn wir uns dafür entscheiden$|ds| = d\tau$, die richtige Zeit. Ich weiß, wie der Beweis mit der Variation von S geht, aber ich wollte es mit dem Euler-Lagrange-Ausdruck beweisen, und so komme ich an die Wurzel meines Problems.

Ich weiß, dass wir, wenn wir den Parameter wie oben angegeben wählen, diesen haben müssen

$$g_{\mu\nu}\frac{dx^{\nu}}{|ds|}\frac{dx^{\mu}}{|ds|} = -1.$$ Offensichtlich können wir das nicht direkt in der Anfangsgleichung für S ersetzen, sonst haben wir eine konstante Lagrangefunktion. Meine Frage ist daher folgende : wann kann ich das effektiv einstellen $g_{\mu\nu}\frac{dx^{\nu}}{|ds|}\frac{dx^{\mu}}{|ds|}$sein $-1$, ohne auf ein falsches Ergebnis zu kommen ? Lassen Sie mich tatsächlich die Schritte für die Euler-Lagrange-Gleichung schreiben:

$$\frac{d}{d\tau}\left(\frac{\partial}{\partial U^{\alpha}}(\sqrt{-g_{\mu\nu}U^{\nu}U^{\mu}}) \right) = \frac{\partial}{\partial x^\alpha}(\sqrt{-g_{\mu\nu}U^{\nu}U^{\mu}})$$

$$\frac{d}{d\tau}\left(\frac{g_{\alpha \nu}U^{\nu}}{\sqrt{M}} \right) = \frac{\partial_{\alpha}g_{\mu\nu}}{2\sqrt{M}}U^{\mu}U^{\nu}$$

Mit

$$U^{\nu} = \frac{dx^{\nu}}{|ds|}$$ Und $$M = -g_{\mu\nu}U^{\nu}U^{\mu}.$$

Nun, in der obigen Gleichung, wenn ich setze$M = 1$, dann finde ich die geodätische Gleichung. Lassen Sie mich die Frage umformulieren: Warum kann ich einstellen$M = 1$Jetzt? Hätte ich eingestellt$M = 1$bevor Sie irgendetwas davon tun$\frac{\partial}{\partial U^\nu}$oder$\frac{\partial}{\partial x^\nu}$Ableitungen hätte ich ein falsches Ergebnis bekommen. Warum kann ich einstellen$M=1$innerhalb der$\frac{d}{|ds}$Derivat, aber nicht innerhalb der anderen? Ich hoffe ich habe mich verständlich ausgedrückt!