Aktion für ein massives Punktteilchen in einer gekrümmten Raumzeit

Die Endpunkte Ihrer Aktion müssen Ereignisse sein, müssen also ein d + 1-dimensionales Objekt sein. Die Aktion muss über alle Pfade, die an den gegebenen Raumzeitpunkten beginnen und enden, extremisiert werden.

Ein Pfad kann durch 4 Raum- und Zeitfunktionen parametrisiert werden,$x^\mu(\xi)$eines Objekts mit einem Parameter$\xi$. Es wäre also falsch, die Endpunkte als zu bezeichnen$\xi$. Stattdessen$\xi$muss als Zwischenmarke zur Beschreibung von Pfaden behandelt werden. Ansonsten ist die funktionale Form des Integrals korrekt.

Es kommt darauf an, was Sie meinen; das ist die Wirkung eines Testteilchens in einem durch eine Metrik gegebenen Hintergrundgravitationsfeld$g_{\mu\nu}$. Wenn Sie es minimieren, erhalten Sie die geodätische Gleichung. Das ist NICHT die dynamische Aktion für das Gravitationsfeld; Ihr Testteilchen ändert die Krümmung der Hintergrundraumzeit nicht. Die Wirkung für das Gravitationsfeld die von Einstein-Hilbert,

$S=\frac{1}{\kappa}\int RdV$

Wo$R$ist die skalare Krümmung,$\kappa$ist die Kopplungskonstante.