Was ist die Motivation für Einstein-Hilberts Handeln?

Ein schneller und schmutziger Weg, dies zu erkennen, ist die Betrachtung der Stress-Energie$T_{\mu\nu}$und seine Beziehung zur Lagrange-Dichte

$$T_{\mu\nu}~=~2\frac{\partial{\cal L}}{\partial g^{\mu\nu}}~-~g_{\mu\nu}{\cal L}.$$ Nehmen Sie nun die Spur davon, indem Sie mit multiplizieren $g^{\mu\nu}$so erhalten wir $$g^{\mu\nu}T_{\mu\nu}~=~2{\cal L}~+~2g^{\mu\nu}\frac{\partial{\cal L}}{\partial g^{\mu\nu}}.$$ Vergleichen Sie dies nun mit der Einstein-Feldgleichung $R_{\mu\nu}~-~\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}$ $=~8\pi GT_{\mu\nu}$. Multiplizieren Sie dies mit $g^{\mu\nu}$und das ist leicht zu sehen ${\cal L}~=~R$.

Dies ist jedoch zu konsistent in allen Koordinaten, da die Lagrange-Dichte als ausgewertet wird$\int{\cal L}d^4x$. Um dies in Bezug auf Koordinatentransformationen konsistent zu machen, muss dies mit der Potenz der Jacobi-Determinante des metrischen Tensors multipliziert werden. Die Jacobi-Determinante des metrischen Tensors ist

$$det\Big|\frac{\partial x^\mu}{\partial x^\nu}\Big|~=~\sqrt{-g}.$$ Dies bedeutet, dass die volle Lagrangian-Dichte für die Gravitation ist ${\cal L}_g~=~\sqrt{-g}R$.

Ich glaube, es kommt vom Prinzip der kleinsten Wirkung. Betrachten Sie für die Lagrange-Funktion$\mathscr{L}$die Aktion

$$S = \int_{\text{all space}}\mathscr{L}d\,\Omega$$

Betrachten Sie eine kleine Variation des metrischen Tensors, so dass

$$g_{\mu \nu} \mapsto g_{\mu \nu}+S g_{\mu \nu}$$ was natürlich zu einer Variation der Aktion selbst führen würde $S \mapsto S + \delta S$. Das Aktionsprinzip impliziert dies $$\delta S = \int_{\text{all space}}\mathscr{L}^{\mu \nu}\delta g_{\mu \nu} d \Omega = 0$$ Bei dem die $(2,0)$Tensor Dichte des Gewichts $1$ist definiert als $\mathscr{L}^{\mu \nu} = \frac{\delta \mathscr{L}}{\delta g_{\mu \nu}}$.

Die Anwendung des Prinzips der kleinsten Wirkung ist auf den Gravitationsraum beschränkt

$$S_g = \int_{\text{space}}\mathscr{L}_g\,d \Omega$$ Die Bedingung, die erforderlich ist, um zu den Feldgleichungen zu gelangen, ist die $$\delta \int \mathscr{L} d^4 x=0$$ Die einzige skalare Gewichtsdichte $1$unter Einbeziehung der Metrik und ihrer Ableitungen bis zur zweiten Ordnung ist $\sqrt{-g}R$. Also, wenn man nimmt $$\begin{align} \mathscr{L}_g &= \kappa^{-1}\sqrt{-g}R\\ &= \kappa^{-1}\sqrt{-g}g^{\mu \nu}R_{\mu \nu} \end{align}$$ Dann folgt das Ergebnis.