Berücksichtigung metrischer Tensorableitungen in der Einstein-Hilbert-Aktion

Question

Berücksichtigung metrischer Tensorableitungen in der Einstein-Hilbert-Aktion

Aktion
Physik
generelle Relativität
lagrangescher Formalismus
Variationsprinzip
funktionale Ableitungen

Benutzer2275987

Ich rätsele über die kanonische Ableitung von GR von der Einstein-Hilbert-Aktion; Die Ableitung mit einer expliziten Behandlung des funktionellen Derivats zum Gel zu bringen, funktioniert nicht. Die Ableitung (hier aus Wikipedia gezogen, obwohl andere Literatur ähnlich ist) beginnt also:

ICH = \int \sqrt{- G} D^{4} X [\frac{1}{2 κ} R + L]

$I = \int{\sqrt{-g}d^4x} \left[\frac{1}{2 \kappa}R + \mathcal{L}\right]$

und geht sofort weiter

δ ICH = 0 = \int D^{4} X δ G_{μ v} [\frac{1}{2 κ} \frac{δ (\sqrt{- G} R)}{δ G_{μ v}} + \frac{δ (\sqrt{- G} L)}{δ G_{μ v}}] .

$\delta I = 0 =\int d^4x \delta g_{\mu \nu}\left[\frac{1}{2\kappa}\frac{\delta\left(\sqrt{-g}R\right)}{\delta g_{\mu \nu}}+\frac{\delta\left(\sqrt{-g}\mathcal{L}\right)}{\delta g_{\mu \nu}}\right].$

Aber der Ricci-Skalar hängt von der ersten und zweiten Ableitung des metrischen Tensors ab, also warum haben wir keine Faktoren?

δ G_{μ v, a}, δ G_{μ v, a β},

$\delta g_{\mu \nu, \alpha}~, \qquad \delta g_{\mu \nu,\alpha \beta}~,$

gegen die wir auch variieren? Vielleicht gibt es eine Identität, die in diesem Fall dazu führt, dass diese Begriffe verschwinden, aber ich sehe es nicht.

Danu

Für eine einigermaßen explizite (und in der Tat ziemlich langwierige) Behandlung siehe Carrolls Buch über GR (Abschnitt 4.3).

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Berücksichtigung metrischer Tensorableitungen in der Einstein-Hilbert-Aktion

Für eine einigermaßen explizite (und in der Tat ziemlich langwierige) Behandlung siehe Carrolls Buch über GR (Abschnitt 4.3).

Jerry Schirmer · Answer 1

Sie haben diese Bedingungen absolut. Die meisten Leute integrieren einfach immer implizit nach Teilen, und realistischerweise verstecken sie diese Terme in anderen Termen, weil die Algebra sehr schnell in Unmengen von Termen zerfällt. Eine sehr aufwendige Version davon wird im Buch Classical Field Theory in der Reihe Landau und Lifschitz ausgearbeitet.

Alternativ können Sie die Palantini-Form der Variation verwenden und die Christoffel-Symbole anstelle der Metrik variieren.

QMechaniker · Answer 2

I) Noch bevor man die Aktion variiert, sei daran erinnert, dass die Einstein-Hilbert (EH) Lagrange-Dichte ist

\begin{matrix} (1) & L_{E H} \sim \sqrt{- det (G_{\cdot \cdot})} {G^{μ v} R_{μ v} (Γ_{L C}, \partial Γ_{L C}) - 2 Λ} \end{matrix}

$\tag{1} {\cal L}_{EH}~\sim~\sqrt{-\det(g_{\cdot\cdot})} \left\{g^{\mu\nu}~ R_{\mu\nu}(\Gamma_{LC},\partial\Gamma_{LC})-2\Lambda\right\}$

Wo $\Gamma_{LC}$ beziehen sich auf die Levi-Civita (LC) Christoffel-Symbole , die wiederum von Ableitungen bis zur ersten Ordnung abhängen $\partial g_{\cdot\cdot}$ der Metrik $g_{\mu\nu}$ .

Durch Betrachtung von Gl. (1) sehen wir, dass die EH-Lagrange-Dichte (1) in Ableitungen zweiter Ordnung linear ist

\begin{matrix} (2) & L_{E H} = F^{μ v λ σ} (G_{\cdot \cdot}) \partial_{μ} \partial_{v} G_{λ σ} + F (G_{\cdot \cdot}, \partial G_{\cdot \cdot}), \end{matrix}

$\tag{2} {\cal L}_{EH} ~=~ {\cal F}^{\mu\nu\lambda\sigma}(g_{\cdot\cdot})~\partial_{\mu} \partial_{\nu}g_{\lambda\sigma} + {\cal F}(g_{\cdot\cdot},\partial g_{\cdot\cdot}) ,$

die wir als Funktion umschreiben können $F(g_{\cdot\cdot},\partial g_{\cdot\cdot})$ was von Ableitungen bis zu erster Ordnung abhängt, plus einem totalen Divergenzterm:

\begin{matrix} (3) & L_{E H} = F (G_{\cdot \cdot}, \partial G_{\cdot \cdot}) + D_{μ} [F^{μ} (G_{\cdot \cdot}, \partial G_{\cdot \cdot})] . \end{matrix}

$\tag{3} {\cal L}_{EH} ~=~F(g_{\cdot\cdot},\partial g_{\cdot\cdot}) + d_{\mu} \left[ F^{\mu}(g_{\cdot\cdot},\partial g_{\cdot\cdot}) \right].$

Totale Divergenzterme in der Lagrange-Dichte führen zu Grenztermen in der Aktion. Wenn wir nur das EFE in der inneren Masse ableiten wollen , weg von den Grenzen, dann können die Terme der totalen Divergenz vernachlässigt werden. Siehe auch diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.

II) Die ganze Geschichte ist jedoch komplizierter. Denken Sie daran, dass für ein konsistentes stationäres Aktionsprinzip mit wohldefinierten funktionalen/variativen Ableitungen geeignete Randbedingungen zugewiesen werden sollten. Dies ist nicht möglich, ohne den Grenzterm Gibbons–Hawking–York (GHY) zur EH-Aktion hinzuzufügen.

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Benutzer2275987

Danu

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Jerry Schirmer

QMechaniker

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