Kovariante Lagrange höherer Ordnung

I) Wie Benutzer Vibert in einem Kommentar erwähnt, werden die Euler-Lagrange-Gleichungen nicht modifiziert$^1$durch Hinzufügen von Gesamtdivergenztermen zur Lagrange-Dichte

Das Hinzufügen von Termen für die totale Divergenz führt zu einer unerschöpflichen Quelle von Lagrange-Operatoren höherer Ordnung.

II) Allgemein, ohne einen vorhandenen Aufhebungsmechanismus [wie etwa, dass ein Teil der Lagrange-Dichte (heimlich) eine totale Divergenz ist] an$n$-Order-Aktion führen würde$2n$-Ordnung Euler-Lagrange-Gleichungen.

III) Beispiel. Die Einstein-Hilbert (EH) Lagrange-Dichte

hängt sowohl von zeitlichen als auch von räumlichen Ableitungen zweiter Ordnung der Metrik ab$g_{\mu\nu}$. Das ist natürlich ein wichtiges Beispiel. Hier$\Gamma_{LC}$beziehen sich auf die Levi-Civita (LC) Christoffel-Symbole , die wiederum Ableitungen erster Ordnung der Metrik sind$g_{\mu\nu}$. Es ist jedoch möglich, einen Total-Divergenz-Term hinzuzufügen, um die Lagrange-Dichte erster Ordnung wiederzugeben, wie Benutzer Drake in einem Kommentar erwähnt. Daher die Euler-Lagrange-Gleichungen für die Einstein-Hilbert-Wirkung$S_{EH}[g_{\mu\nu}]$, also die Einsteinschen Feldgleichungen (EFE), sind nicht, wie man naiv erwarten könnte, vierter Ordnung, sondern immer noch zweiter Ordnung.

IV) Lagrangianer höherer Ordnung werden auch in vielen Phys.SE-Beiträgen diskutiert, siehe zB hier und hier .

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$^1$Beachten Sie, dass das Hinzufügen von Gesamtdivergenztermen (1) die konsistente Auswahl von Randbedingungen für die Theorie beeinflussen kann.

In diesem Artikel können Sie beispielsweise die Lagrange-Funktion für die Galileon-Teilchen betrachten . Sie hat die Eigenschaft, dass die Bewegungsgleichungen in den Ableitungen und Kovarianten 2. Ordnung bleiben.