Kann Potential geschwindigkeitsabhängig sein?

Wenn Sie die Lagrange-Funktion als die Differenz der Energien definieren, erscheint es seltsam, dass ein Potenzial geschwindigkeitsabhängig ist. Ich habe mich mit solchen Situationen abgefunden, indem ich diese restriktive Definition für die Lagrange-Funktion nicht verwendet habe und sie stattdessen für das hielt, was sie wirklich ist: eine Funktion, die zu Bewegungsgleichungen führt .

Durch das Hamilton-Prinzip wissen wir, dass ein System mit einer Koordinate$q(t)$die auf Differentialgleichungen zweiter Ordnung folgt$t$kann äquivalent durch die Minimierung des Funktionals beschrieben werden

$$S[q(t)]=\int_{t_1}^{t_2}\mathrm{d}t\,L(q,\dot{q},t),$$ da eine notwendige Bedingung für das Schreiben $\delta S=0$ist selbst eine Differentialgleichung zweiter Ordnung für $q(t)$, gegeben durch die Euler-Lagrange-Gleichung: $$\frac{\partial{L}}{\partial q}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial{L}}{\partial \dot q}=0.$$ Nachdem dies definiert ist, können wir damit beginnen, Interaktionen zu beschreiben.

Angenommen, unser System kann durch eine bestimmte Lagrange-Funktion beschrieben werden, und die Intensität der Wechselwirkungen wird durch einen kontinuierlichen Parameter parametrisiert$\lambda$(dies kann Ladung, Masse usw. sein) so dass$L(\lambda)$für$\lambda=0$beschreibt die Bewegung des Systems ohne Wechselwirkung. Wenn wir expandieren$L$um$\lambda=0$, wir bekommen

$$L=L(0)+\sum_{n=1}^{\infty}\lambda^n\frac{\partial^nL}{\partial\lambda^n},$$ und definieren $L_{\mathrm{free}}=L(0)$, $L_{\mathrm{int}}=\sum_{n=1}^{\infty}\lambda^n\frac{\partial^nL}{\partial\lambda^n}$, können wir den Hamiltonoperator (dh die Energie) unseres Systems schreiben als $$H=-\{(L_{\mathrm{free}}+L_{\mathrm{int}})-\dot q\frac{\partial}{\partial\dot q}(L_{\mathrm{free}}+L_{\mathrm{int}})\}\\H=(\dot q\frac{\partial}{\partial\dot q}-1)L_{\mathrm{free}}+(\dot q\frac{\partial}{\partial\dot q}-1)L_{\mathrm{int}}.$$ Daraus definieren wir die kinetische Energie $K$als erster Term und das Interaktionspotential $U$als zweiter Begriff. In dem speziellen Fall, wo das Potential nicht von der Geschwindigkeit abhängt, sehen wir das $U=-L_{int}$, was wir für die übliche Lagrange-Definition verwenden würden. Die übliche Definition hat auch $K=L_{\mathrm{free}}$, was aber nur in der nichtrelativistischen Mechanik der Fall ist, die durch Auflösen der Differentialgleichung nach $L_{\mathrm{free}}$gibt uns $L_{\mathrm{free}}\propto\dot q^2$. Bei Reibungskräften und inelastischen Systemen haben wir jedoch eine zeitabhängige Lagrange-Funktion, die zu einer zeitabhängigen Energie und damit Dissipation führt.