Warum verschwindet die gesamte virtuelle Arbeit, die von Kräften aus Zwangsbedingungen geleistet wird? (Rechtwinkligkeit von zwei oder mehr Teilchen)

Scheck geht davon aus, dass das Prinzip der virtuellen Arbeit (PVW) gilt, dh dass die Zwangskräfte keine virtuelle Arbeit leisten. Dies wiederum führt zum d'Alembertschen Prinzip , vgl. zB this & this Phys.SE Beiträge.

Man kann die PVW für verschiedene Klassen von Zwangskräften nachweisen. Eine wichtige Klasse sind die Zwangskräfte in einem starren Körper, vgl. zB this & this Phys.SE Beiträge.

Ich denke, Sie beziehen sich auf das D'Alembert-Prinzip, das genau besagt, dass die Zwangskräfte keine Beiträge zur Arbeit liefern, nämlich die virtuelle Arbeit verschwindet

$$\sum Z_i \cdot \delta r_i.$$

Und Sie haben Recht, dass diese Kräfte senkrecht zu der Oberfläche stehen, auf der die Bewegung eingeschränkt ist.

Sie können dies genauer verstehen, wenn Sie erkennen, dass eine Bewegung im Gegensatz zu einem sich frei bewegenden Teilchen im 3-dimensionalen Raum prinzipiell zwangsläufig sein kann. Diese erzwungene Bewegung wird durch Zwangskräfte induziert. Sie haben bereits das nette Beispiel gemacht, wo die Bewegung auf eine bestimmte Oberfläche beschränkt ist. Wenn Sie nun die Newtonschen Bewegungsgleichungen für Ihr Teilchen berechnen wollen, werden Sie auf Schwierigkeiten stoßen, da die Zwangskräfte oft nicht bekannt sind. Sie können entweder verallgemeinerte Koordinaten einführen (dies führt zu den Lagrange-Gleichungen) oder Sie können das D'Alembert-Prinzip verwenden.

Bei holonomen Beschränkungen wirken sich die einschränkenden Kräfte nicht auf die Bewegung auf einer Oberfläche aus$g(r,t)= 0$, also stehen diese Zwangskräfte senkrecht zu der durch definierten Fläche$g(r,t)= 0$.

dein beispiel

Die Bewegungsgleichung lautet:

$$m_1\,\ddot{x}_1=F_1+Z$$ $$m_2\,\ddot{x}_2=F_2-Z$$

oder

$$\begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \\ \end{bmatrix}\,\underbrace{\begin{bmatrix} \ddot{x}_1 \\ \ddot{x}_2 \\ \end{bmatrix}}_{\vec{\ddot{y}}}=\begin{bmatrix} F_1 \\ F_2 \\ \end{bmatrix}+\underbrace{\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ \end{bmatrix}}_{C_Z}\,Z\tag 1$$ die Zwangsgleichung

$$x_2-x_1=0\quad \Rightarrow \dot{x}_2=\dot{x}_1\tag 2$$

So$x_1=q_1$ist also die verallgemeinerte Koordinate$\vec{\dot{y}}=J\,\dot{q}_1$

Wo

$J=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$

and eq. (1) 

$$\begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \\ \end{bmatrix}\,J\,\ddot{q}=\begin{bmatrix} F_1 \\ F_2 \\ \end{bmatrix}+\underbrace{\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ \end{bmatrix}}_{C_Z}\,Z\tag 3$$

um die Zwangskraft zu eliminieren$Z$wir multiplizieren eq(3) von links mit$J^T$

$$J^T\,C_Z=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ \end{bmatrix}=0$$

oder

$$\delta x_1\,Z-\delta x_2\,Z=0$$

das ist das Prinzip der virtuellen Arbeit

wir erhalten die Bewegungsgleichungen

$$J^T\,M\,J\,\vec{\ddot{q}_1}=J^T\,\vec{F}$$

1. Du hast Recht. Es gibt keine Garantie dafür, dass Zwangskräfte keine Arbeit leisten. Wenn es zum Beispiel Dissipation gibt, gibt es einen irreversiblen Verlust von mechanischer Energie des Systems in Wärme. Ein Beispiel wäre die Oberflächenreibung zwischen festen Oberflächen, die im Allgemeinen nicht in den Lagrange-Formalismus aufgenommen werden kann, da es keine Möglichkeit gibt, ein entsprechendes Potential zu definieren.

Wenn der Körper jedoch rollt, hat der Kontaktpunkt immer eine Geschwindigkeit von Null, und die durch Reibungskräfte geleistete Arbeit ist Null$-$Beachten Sie, dass in diesem Fall die Reibungskraft nicht Null ist, die dadurch erzeugte Leistung jedoch. Deshalb kann man für Fälle, in denen das Rollen garantiert ist, den üblichen Lagrange-Formalismus verwenden.

$\big[$Ein Beispiel, bei dem Sie Dissipation einbeziehen können, ist die geschwindigkeitsabhängige Reibung, und zwar durch die Verwendung der Rayleigh-Dissipationsfunktion (vgl. Goldstein, Kapitel 1); Dies ist jedoch nicht mehr die übliche Lagrange-Mechanik.$\big]$

2. In der klassischen Lagrange-Mechanik ist der richtige Weg zu prüfen, ob Zwangskräfte irgendeine Arbeit leisten oder nicht, zu entscheiden, ob es aufgrund von Zwangskräften zu einer Dissipation kommt. Wie du selbst gesagt hast$-$Die Normalkraft leistet keine Arbeit, nur die Parallelkomponente.

3. Bei starren Körpern geht man davon aus, dass die innere Energie des starren Körpers (aufgrund verschiedener kurz- und langreichweitiger Kräfte) unabhängig von der Ausrichtung des starren Körpers ist. In der klassischen Mechanik wird diese Annahme oft durch innere Kräfte argumentiert, die als gleich und entgegengesetzt angenommen werden und entlang der Linie wirken, die zwei beliebige Teile verbindet. Aufgrund der Steifigkeitsbeschränkung$-$die nur eine senkrechte Relativbewegung zwischen zwei beliebigen Teilen des starren Körpers zulässt$-$die Zwangskräfte wirken nicht. Dies erklärt die Situation mit dem mit zwei Massen verklebten leichten starren Stab in Ihrem Problem.

4. Stellen Sie sich eine nicht-holonome Beschränkung vor, zum Beispiel ein Teilchen, das im Inneren einer festen, unverformbaren, dünnen Hülle gefangen ist. Die Zwangskräfte können wirken, wenn das Teilchen mit den Wänden der Schale kollidiert. Wenn durch die Kollisionen Energie verloren geht, leisten die Zwangskräfte (im Verlauf einer Kollision) Arbeit.

5. Stellen Sie sich vor, Sie lassen einen sich drehenden Ball senkrecht auf den Boden fallen$-$Wenn der Ball in einem realen Szenario zurückprallt, ändert sich seine Winkelgeschwindigkeit. Dies ist wieder ein Beispiel für eine parallele Komponente, die Arbeit verrichtet. Wenn andererseits der Boden/Ball verformbar oder nicht starr ist, dann ist die Beschränkung selbst nicht exakt. Hier haben Sie alle möglichen Dissipationseffekte, da die durch Kollisionen induzierten Schwingungen gedämpft und schließlich als Wärme und Schall dissipiert werden, wenn sich der Körper entspannt, z. eine Kette, die in der Nähe eines Lochs in einem Tisch herumgewickelt wird und senkrecht nach unten rutscht.

6. Wenn die Körper geladen sind, kann es eine beliebige Anzahl interessanter/mysteriöser Phänomene geben (stellen Sie sich zum Beispiel isolierte geladene Körper vor). Die Ladungen interagieren durch das elektromagnetische Feld, das seine eigene Dynamik hat. Die üblichen Annahmen der Newtonschen Mechanik brechen in solchen Fällen zusammen, da das elektromagnetische Feld Energie und Impuls wegtragen kann.